【图论】C036_LG_最大食物链计数（拓扑排序 + dp）

一、Problem

你知道食物链吗？Delia 生物考试的时候，数食物链条数的题目全都错了，因为她总是重复数了几条或漏掉了几条。于是她来就来求助你，然而你也不会啊！写一个程序来帮帮她吧。

题目描述

给你一个食物网，你要求出这个食物网中最大食物链的数量。

（这里的“最大食物链”，指的是生物学意义上的食物链，即最左端是不会捕食其他生物的生产者，最右端是不会被其他生物捕食的消费者。）

Delia 非常急，所以你只有 1 秒的时间。

由于这个结果可能过大，你只需要输出总数模上 80112002 的结果。

输入格式

第一行，两个正整数 n、m，表示生物种类 n 和吃与被吃的关系数 m。

接下来 m 行，每行两个正整数，表示被吃的生物A和吃A的生物B。

输出格式

一行一个整数，为最大食物链数量模上 8011200280112002 的结果。

5 7
1 2
1 3
2 3
3 5
2 5
4 5
3 4

5

二、Solution

方法一：拓扑排序 + dp（超时）

最长食物链即：从入度为 0 的结点到出度为 0 结点的路径，所以用拓扑排序对图遍历即可。

可以考虑用邻接表存边，因为此图为稀疏图…

• 定义状态：
  • $dp[u]$ 到达结点 $u$ 的路径条数（每一个结点只会被遍历一次）
• 思考初始化：
  • $dp[u]=1$
• 思考状态转移方程：
  • $dp[v]=dp[v]+dp[u]$，$v$ 为 $u$ 的邻居
• 思考输出：$sum(dp[k])$，k 为拓扑排序后入度为 0，出度也为 0 的结点。

TLE 之 70/100：

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static class Solution {
		int n, m, cnt, mod = 80112002, in[], out[], dp[];
		List<Integer>[] g;

		void topo() {
			Queue<Integer> q = new LinkedList<>();
			for (int i = 1; i <= n; i++) {
				if (in[i] == 0) {
					dp[i] = 1;
					q.add(i);
				}
			}
			while (!q.isEmpty()) {
				int u = q.poll();
				for (int v : g[u]) {
					dp[v] = (dp[u] + dp[v]) % mod; 
					in[v]--;
					if (in[v] == 0) {
						if (out[v] == 0) {
						    cnt = (cnt + dp[v]) % mod;
						    continue;
						}
						q.add(v);
					}
				}
			}
		}
		void init() {
			Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
			n = sc.nextInt(); m = sc.nextInt();
			in = new int[n+1];
			out = new int[n+1];
			g = new LinkedList[n+1];
			dp = new int[n+1];

			for (int i = 0; i < g.length; i++)
				g[i] = new LinkedList<>();
			for (int i = 0; i < m; i++) {
				int a = sc.nextInt(), b = sc.nextInt();
				g[a].add(b);
				out[a]++;
				in[b]++;
			}
			topo();
			System.out.println(cnt);
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
		s.init();
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n\times m)$，遍历图一遍
• 空间复杂度：$O(...)$，