Coursera-AndrewNg(吴恩达)机器学习第一周笔记

声明：
本人所作的所有笔记内容禁止任何商业形式的转载，非商业形式的转载请先联系我授权，在承诺不会用于商业用途后方可使用，且需声明转载地址（GitHub）。
笔记对外暂且只发布第一周的笔记，后续可能会陆续发布。

该笔记项目耗费了本人的大量时间，请尊重原作者，拒绝并抵制侵权行为，欢迎私信举报。

如需查阅完整笔记项目，请至：
GitHub 笔记项目地址

觉得不错，不如请我喝杯咖啡：

1. 引言(Introduction)

1.1 Welcome

随着互联网数据不断累积，硬件不断升级迭代，在这个信息爆炸的时代，机器学习已被应用在各行各业中，可谓无处不在。

一些常见的机器学习的应用，例如：

• 手写识别
• 垃圾邮件分类
• 搜索引擎
• 图像处理
• …

使用到机器学习的一些案例：

• 数据挖掘
  • 网页点击流数据分析
• 人工无法处理的工作(量大)
  • 手写识别
  • 计算机视觉
• 个人定制
  • 推荐系统
• 研究大脑

当然，还有更多其他的应用场景，总之，机器学习的出现让很多不可能成为了可能。

1.2 什么是机器学习(What is Machine Learning)

1. 机器学习定义
   这里主要有两种定义：

• Arthur Samuel (1959). Machine Learning: Field of study that gives computers the ability to learn without being explicitly programmed.

  这个定义有点不正式但提出的时间最早，来自于一个懂得计算机编程的下棋菜鸟，编程使得计算机通过不断的对弈，不断地计算布局的好坏来“学习”，从而积累经验，这样，这个计算机程序成为了一个厉害的棋手。

• Tom Mitchell (1998) Well-posed Learning Problem: A computer program is said to learn from experience E with respect to some task T and some performance measure P, if its performance on T, as measured by P, improves with experience E.

  Tom Mitchell 的定义更现代，也有点拗口，视频中介绍了一个例子，即垃圾邮件分类。对于垃圾邮件分类，文中的三个字母分别代表：

  • T(task): 对垃圾邮件分类这个任务。
  • P(Performance): 垃圾邮件分类的准确程度。
  • E(Experience): 用户对于邮件进行是否为垃圾邮件的分类（即帮助机器体验、学习）。

2. 机器学习算法

   主要有两种机器学习的算法分类

   1. 监督学习
   2. 无监督学习

   两者的区别为是否需要人工参与数据标注。这两部分的内容占比很大，并且很重要，掌握好了可以在以后的应用中节省大把大把的时间~

   还有一些算法也属于机器学习领域，诸如：

   • 半监督学习: 介于监督学习于无监督学习之间
   • 推荐算法: 没错，就是那些个买完之后还推荐同一款商品的某购物平台。
   • 强化学习: 通过观察来学习如何做出动作，每个动作都会对环境有所影响，而环境的反馈又可以引导该学习算法。
   • 迁移学习

1.3 监督学习(Supervised Learning)

监督学习，即为教计算机如何去完成预测任务（有反馈），预先给一定数据量的输入和对应的结果，建模拟合，最后让计算机预测未知数据的结果。

监督学习一般有两种：

1. 回归问题(Regression)

   回归问题即为预测一系列的连续值。

   在房屋价格预测的例子中，给出了一系列的房屋面基数据，根据这些数据来预测任意面积的房屋价格。给出照片-年龄数据集，预测给定照片的年龄。

2. 分类问题(Classification)

   分类问题即为预测一系列的离散值。

   即根据数据预测被预测对象属于哪个分类。

   视频中举了癌症肿瘤这个例子，针对诊断结果，分别分类为良性或恶性。还例如垃圾邮件分类问题，也同样属于监督学习中的分类问题。

视频中提到支持向量机这个算法，旨在解决当特征量很大的时候(特征即如癌症例子中的肿块大小，颜色，气味等各种特征)，计算机内存一定会不够用的情况。支持向量机能让计算机处理无限多个特征。

1.4 无监督学习(Unsupervised Learning)

相对于监督学习，训练集不会有人为标注的结果（无反馈），我们不会给出结果或无法得知训练集的结果是什么样，而是单纯由计算机通过无监督学习算法自行分析，从而“得出结果”。计算机可能会把特定的数据集归为几个不同的簇，故叫做聚类算法。

无监督学习一般分为两种：

1. 聚类(Clustering)
   • 新闻聚合
   • DNA 个体聚类
   • 天文数据分析
   • 市场细分
   • 社交网络分析
2. 非聚类(Non-clustering)
   • 鸡尾酒问题

新闻聚合

在例如谷歌新闻这样的网站中，每天后台都会收集成千上万的新闻，然后将这些新闻分组成一个个的新闻专题，这样一个又一个聚类，就是应用了无监督学习的结果。

鸡尾酒问题

在鸡尾酒会上，大家说话声音彼此重叠，几乎很难分辨出面前的人说了什么。我们很难对于这个问题进行数据标注，而这里的通过机器学习的无监督学习算法，就可以将说话者的声音同背景音乐分离出来，看视频，效果还不错呢~~。

嗯，这块是打打鸡血的，只需要一行代码就解决了问题，就是这么简单！当然，我没复现过 ^_^……

神奇的一行代码：
[W,s,v] = svd((repmat(sum(x.*x,1),size(x,1),1).*x)*x');

编程语言建议

在机器学习刚开始时，推荐使用 Octave 类的工程计算编程软件，因为在 C++ 或 Java 等编程语言中，编写对应的代码需要用到复杂的库以及要写大量的冗余代码，比较耗费时间，建议可以在学习过后再考虑使用其他语言来构建系统。****
另外，在做原型搭建的时候也应该先考虑使用类似于 Octave 这种便于计算的编程软件，当其已经可以工作后，才将模型移植到其他的高级编程语言中。

注：Octave 与 MATLAB 语法相近，由于 MATLAB 为商业软件，课程中使用开源且免费的 Octave。

机器学习领域的发展迅速，也可使用 Tensorflow 等开源机器学习框架学习，这些框架十分友好，易于编写及应用机器学习算法。

2 单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)

2.1 模型表示(Model Representation)

1. 房价预测训练集

Size in $fee{t}^2$ ($x$)	Price ($) in 1000’s($y$)
2104	460
1416	232
1534	315
852	178
…	…

房价预测训练集中，同时给出了输入 $x$ 和输出结果 $y$，即给出了人为标注的”正确结果“，且预测的量是连续的，属于监督学习中的回归问题。

2. 问题解决模型

其中 $h$ 代表结果函数，也称为假设(hypothesis) 。这个函数 $h$ 根据输入(房屋的面积)，给出预测结果输出(房屋的价格)，即是一个 $X\to Y$ 的映射。

$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x$，为其中一种可行的表达式。

$x$: 特征/输入变量。

上式中，$\theta$ 为参数，$\theta$ 的变化才决定了输出结果，不同以往，这里的 $x$ 被我们视作已知(不论是数据集还是预测前的输入)，所以怎样解得 $\theta$ 以更好地拟合数据，成了求解该问题的最终问题。

单变量，即只有一个特征(如例子中房屋的面积这个特征)。

2.2 损失函数(Cost Function)

我们的目的在于求解预测结果 $h_{\theta }(x)$ 最接近于实际结果 $y$ 时 $\theta$ 的取值，则问题可表达为求解 $\sum _{i=0}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})$ 的最小值。

$m$: 训练集中的样本总数

$y$: 目标变量/输出变量

$\left(x,y\right)$: 训练集中的实例

$\left(x^{\left(i\right)},y^{\left(i\right)}\right)$: 训练集中的第 $i$ 个样本实例

上图展示了当 $\theta$ 取不同值时，$h_{\theta }\left(x\right)$ 对数据集的拟合情况，蓝色虚线部分代表建模误差（预测结果与实际结果之间的误差），我们的目标就是最小化所有误差之和。

为了求解最小值，引入损失函数(Cost Function)概念，用于度量建模误差。考虑到要计算最小值，应用二次函数对求和式建模，即应用统计学中的平方损失函数（最小二乘法）：

$$J({\theta }_0,{\theta }_1)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{\left({\hat{y}}_i-y_i\right)}^2=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{\left(h_{\theta }(x_i)-y_i\right)}^2$$

系数 $\frac{1}{2}$ 存在与否都不会影响结果，这里是为了在应用梯度下降时便于求解，平方的导数会抵消掉 $\frac{1}{2}$ 。

讨论到这里，我们的问题就转化成了求解 $J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)$ 的最小值。

2.3 损失函数 - 直观理解1(Cost Function - Intuition I)

根据上节视频，列出如下定义：

• 假设函数(Hypothesis): $h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x$
• 参数(Parameters): ${\theta }_0,{\theta }_1$
• 损失函数(Cost Function): $J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)}^2$
• 目标(Goal): $\underset{{\theta }_0,{\theta }_1}{\mathrm{minimize}}J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)$

为了直观理解损失函数到底是在做什么，先假设 ${\theta }_1=0$，并假设训练集有三个数据，分别为$\left(1,1\right),\left(2,2\right),\left(3,3\right)$，这样在平面坐标系中绘制出 $h_{\theta }\left(x\right)$ ，并分析 $J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)$ 的变化。

右图 $J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)$ 随着 ${\theta }_1$ 的变化而变化，可见当 ${\theta }_1=1$ 时，$J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)=0$，取得最小值，对应于左图青色直线，即函数 $h$ 拟合程度最好的情况。

2.4 损失函数 - 直观理解2(Cost Function - Intuition II)

注：该部分由于涉及到了多变量成像，可能较难理解，要求只需要理解上节内容即可，该节如果不能较好理解可跳过。

给定数据集：

参数在 ${\theta }_0$ 不恒为 $0$ 时损失函数 $J\left(\theta \right)$ 关于 ${\theta }_0,{\theta }_1$ 的 3-D 图像，图像中的高度为损失函数的值。

由于3-D图形不便于标注，所以将3-D图形转换为轮廓图(contour plot)，下面用轮廓图（下图中的右图）来作直观理解，其中相同颜色的一个圈代表着同一高度（同一 $J\left(\theta \right)$ 值）。

${\theta }_0=360,{\theta }_1=0$ 时：

大概在 ${\theta }_0=0.12,{\theta }_1=250$ 时：

上图中最中心的点（红点），近乎为图像中的最低点，也即损失函数的最小值，此时对应 $h_{\theta }\left(x\right)$ 对数据的拟合情况如左图所示，嗯，一看就拟合的很不错，预测应该比较精准啦。

2.5 梯度下降(Gradient Descent)

在特征量很大的情况下，即便是借用计算机来生成图像，人工的方法也很难读出 $J\left(\theta \right)$ 的最小值，并且大多数情况无法进行可视化，故引入梯度下降(Gradient Descent)方法，让计算机自动找出最小化损失函数时对应的 $\theta$ 值。

梯度下降背后的思想是：开始时，我们随机选择一个参数组合 $\left({\theta }_0,{\theta }_1,......,{\theta }_n\right)$即起始点，计算损失函数，然后寻找下一个能使得损失函数下降最多的参数组合。不断迭代，直到找到一个局部最小值(local minimum)，由于下降的情况只考虑当前参数组合周围的情况，所以无法确定当前的局部最小值是否就是全局最小值(global minimum)，不同的初始参数组合，可能会产生不同的局部最小值。

下图根据不同的起始点，产生了两个不同的局部最小值。

视频中举了下山的例子，即我们在山顶上的某个位置，为了下山，就不断地看一下周围下一步往哪走下山比较快，然后就迈出那一步，一直重复，直到我们到达山下的某一处陆地。

给出梯度下降的公式：

​ repeat until convergence:
​ ${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)$

${\theta }_j$: 第 $j$ 个特征参数

”:=“: 赋值操作符

$\alpha$: 学习速率(learning rate), $\alpha >0$

$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)$: $J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)$ 的偏导

公式中，学习速率决定了参数值变化的速率即”走多少距离“，而偏导这部分决定了下降的方向即”下一步往哪里“走（当然实际上的走多少距离是由偏导值给出的，学习速率起到调整后决定的作用），收敛处的局部最小值又叫做极小值，即”陆地“。

这里非常重要的一个点是，在计算时要批量更新 $\theta$ 值，否则结果上会有所出入，原因不做细究。

2.6 梯度下降直观理解(Gradient Descent Intuition)

该节探讨 ${\theta }_1$ 的梯度下降更新过程，即 ${\theta }_1:={\theta }_1-\alpha \frac{d}{d{\theta }_1}J\left({\theta }_1\right)$，注意到这里为了数学定义上的精确性，用的是 $\frac{d}{d{\theta }_1}J\left({\theta }_1\right)$，如果不熟悉微积分学，就把它视作之前的 $\frac{\partial }{\partial \theta }$ 即可。

把红点定为初始点，切于初始点的红色直线的斜率，表示了函数 $J\left(\theta \right)$ 在初始点处有正斜率，也就是说它有正导数，则根据梯度下降公式 ，${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)$ 即 ${\theta }_1$ 会向左边移动。这样不断重复，直到收敛（达到局部最小值，即斜率为0）。

当然如果 $\theta$ 值开始就在极小值点处时，梯度下降算法将什么也不做（${\theta }_1:={\theta }_1-\alpha \ast 0$）。

不熟悉斜率的话，就当斜率的值等于图中三角形的高度除以水平长度好啦，精确地求斜率的方法是求导。

另外，对于学习速率 $\alpha$ ，需要选取一个合适的值才能使得梯度下降算法运行良好。

• 学习速率过小：

  收敛的太慢，需要更多次的迭代。

• 学习速率过大：

  可能越过最低点，甚至导致无法收敛。

学习速率只需选定即可，不需要在运行梯度下降算法的时候进行动态改变，随着斜率越来越接近于0，损失函数的变化幅度会越来越小，直到收敛到局部极小值。

如图，品红色点为初始点，损失函数随着迭代的进行，变化的幅度越来越小。

最后，梯度下降不止可以用于线性回归中的损失函数，还通用于最小化其他的损失函数。

2.7 线性回归中的梯度下降(Gradient Descent For Linear Regression)

线性回归模型

• $h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x$
• $J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)}^2$

梯度下降算法

• ${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J\left({\theta }_0,{\theta }_1\right)$

直接将线性回归模型公式带入梯度下降公式可得出公式

对于 $j=0,j=1$ 时，给出偏导计算公式的推导过程如下：

$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J({\theta }_1,{\theta }_2)=\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}\left(\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m{\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)}^2\right)=$

$\left(\frac{1}{2m}\ast 2\sum _{i=1}^m\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)\right)\ast \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)=$

$\left(\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)\right)\ast \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}\left({\theta }_0{x}_0^{(i)}+{\theta }_1{x}_1^{(i)}-y^{(i)}\right)$

所以当 $j=0$ 时：

$\frac{\partial }{\partial {\theta }_0}J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)\ast x_0^{(i)}$

所以当 $j=1$ 时：

$\frac{\partial }{\partial {\theta }_1}J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left(h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)\ast x_1^{(i)}$

上文中所提到的梯度下降，都为批量梯度下降(Batch Gradient Descent)，即每次计算都使用所有的数据集 $\left(\sum _{i=1}^m\right)$ 更新。

由于线性回归函数呈现碗状，且只有一个全局的最优值，所以函数一定总会收敛到全局最小值（学习速率不可过大）。同时，函数 $J$ 被称为凸二次函数，而线性回归函数求解最小值问题属于凸函数优化问题。

另外，使用循环求解，代码较为冗余，后面会讲到如何使用**向量化(Vectorization)**来简化代码并优化计算，使梯度下降运行的更快更好。

3 Linear Algebra Review

这部分，学过线性代数的可以复习一下，比较基础。笔记整理暂留。

3.1 Matrices and Vectors

Octave/Matlab 代码:

% The ; denotes we are going back to a new row.
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; 10, 11, 12]

% Initialize a vector 
v = [1;2;3] 

% Get the dimension of the matrix A where m = rows and n = columns
[m,n] = size(A)

% You could also store it this way
dim_A = size(A)

% Get the dimension of the vector v 
dim_v = size(v)

% Now let's index into the 2nd row 3rd column of matrix A
A_23 = A(2,3)

执行结果:

A =

    1    2    3
    4    5    6
    7    8    9
   10   11   12

v =

   1
   2
   3

m =  4
n =  3
dim_A =

   4   3

dim_v =

   3   1

A_23 =  6

3.2 Addition and Scalar Multiplication

Octave/Matlab 代码:

% Initialize matrix A and B 
A = [1, 2, 4; 5, 3, 2]
B = [1, 3, 4; 1, 1, 1]

% Initialize constant s 
s = 2

% See how element-wise addition works
add_AB = A + B 

% See how element-wise subtraction works
sub_AB = A - B

% See how scalar multiplication works
mult_As = A * s

% Divide A by s
div_As = A / s

% What happens if we have a Matrix + scalar?
add_As = A + s

执行结果:

A =

   1   2   4
   5   3   2

B =

   1   3   4
   1   1   1

s =  2
add_AB =

   2   5   8
   6   4   3

sub_AB =

   0  -1   0
   4   2   1

mult_As =

    2    4    8
   10    6    4

div_As =

   0.50000   1.00000   2.00000
   2.50000   1.50000   1.00000

add_As =

   3   4   6
   7   5   4

3.3 Matrix Vector Multiplication

Octave/Matlab 代码:

% Initialize matrix A 
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6;7, 8, 9] 

% Initialize vector v 
v = [1; 1; 1] 

% Multiply A * v
Av = A * v

执行结果:

A =

   1   2   3
   4   5   6
   7   8   9

v =

   1
   1
   1

Av =

    6
   15
   24

3.4 Matrix Matrix Multiplication

Octave/Matlab 代码:

% Initialize a 3 by 2 matrix 
A = [1, 2; 3, 4;5, 6]

% Initialize a 2 by 1 matrix 
B = [1; 2] 

% We expect a resulting matrix of (3 by 2)*(2 by 1) = (3 by 1) 
mult_AB = A*B

% Make sure you understand why we got that result

执行结果:

A =

   1   2
   3   4
   5   6

B =

   1
   2

mult_AB =

    5
   11
   17

3.5 Matrix Multiplication Properties

Octave/Matlab 代码:

% Initialize random matrices A and B 
A = [1,2;4,5]
B = [1,1;0,2]

% Initialize a 2 by 2 identity matrix
I = eye(2)

% The above notation is the same as I = [1,0;0,1]

% What happens when we multiply I*A ? 
IA = I*A 

% How about A*I ? 
AI = A*I 

% Compute A*B 
AB = A*B 

% Is it equal to B*A? 
BA = B*A 

% Note that IA = AI but AB != BA

执行结果:

A =

   1   2
   4   5

B =

   1   1
   0   2

I =

Diagonal Matrix

   1   0
   0   1

IA =

   1   2
   4   5

AI =

   1   2
   4   5

AB =

    1    5
    4   14

BA =

    5    7
    8   10

3.6 Inverse and Transpose

Octave/Matlab 代码:

% Initialize matrix A 
A = [1,2,0;0,5,6;7,0,9]

% Transpose A 
A_trans = A' 

% Take the inverse of A 
A_inv = inv(A)

% What is A^(-1)*A? 
A_invA = inv(A)*A

执行结果:

A =

   1   2   0
   0   5   6
   7   0   9

A_trans =

   1   0   7
   2   5   0
   0   6   9

A_inv =

   0.348837  -0.139535   0.093023
   0.325581   0.069767  -0.046512
  -0.271318   0.108527   0.038760

A_invA =

   1.00000  -0.00000   0.00000
   0.00000   1.00000  -0.00000
  -0.00000   0.00000   1.00000