理解背包问题

背包问题想了好几天都没想明白，今天根据代码看了一下dp table，终于想明白了。给自己记录一下，免得后面忘记。

先贴代码：

# A Dynamic Programming based Python Program for 0-1 Knapsack problem 
# Returns the maximum value that can be put in a knapsack of capacity W 
def knapSack(W, wt, val, n): 
    K = [[0 for x in range(W+1)] for x in range(n+1)] 
  
    # Build table K[][] in bottom up manner 
    for i in range(n+1): 
        for w in range(W+1): 
            if i==0 or w==0: 
                K[i][w] = 0
            elif wt[i-1] <= w: 
                K[i][w] = max(val[i-1] + K[i-1][w-wt[i-1]],  K[i-1][w]) 
            else: 
                K[i][w] = K[i-1][w]

    for i in range(n+1):
        print(K[i])
  
    return K[n][W] 
  
# Driver program to test above function 
val = [1,1,1,10] 
wt = [1,1,1,2] 
W = 2
n = len(val) 
print(knapSack(W, wt, val, n)) 

之前有一些误区：
比如误认为dp table的w是拿了当前物体后剩下的容量，而不是当前总容量；
还有以为需要按照价值或者重量先对数据进行排序等。
但实际上，跑一下代码，把表print出来，就都理解了。

下面重点理解 max(val[i-1] + K[i-1][w-wt[i-1]], K[i-1][w]) 这个式子。
很多文章都说，是选或者不选当前物体的两种情况下，取最大价值，但是详细的解释就没有了。
下面举个例子解释一下。
比如：
val = [2,1,2]
wt = [1,1,2]
此时考虑第三个物体，容量为3的情况：
假设放入第三个物体，实际上前一项公式就是分区的思想：即把背包分为1和2两个重量区间，2的区间我们放入第三个物体，1的区间我们选择前面的物体组合中能放入的价值最大的，也就是第一个物体。此时最大价值为2+2=4
假设不放入第三个物体，那么就不分区了，我们选择前面的物体组合中能放入的价值最大的，也就是2+1=3

那么什么时候会选择后一项，即不放入当前物体呢？
如果价值和重量变为：
val = [2,1,1]
wt = [1,1,2]
通俗的理解：当前物体的性价比没有前面的物体高的时候，就选择前面物体的组合。
比如考虑第三个物体，容量为2时，前两个物体的重量和与第三个物体的重量一样，但前两个物体的价值更高，因此选前两个物体。