“抽象”《大话数据结构》第六章——二叉树
二叉树的性质
二叉树的性质1
根据满二叉树的特点可知，普通二叉树每层的节点数是不会比满二叉树还多的，由于满二叉树的前后层数上的结点数目是按照比例2递增的，a1 = 1，a2 = 2，a3 = 4，a4 = 8.。。。所以ai = 2^（ i - 1）
在二叉树的第 i 层上至多有2^（ i - 1个结点。
二叉树的性质2
讨论二叉树总共多少结点，以满二叉树位例，假设满二叉树的深度为4，则总结点数是比例为2的等比数列求和
a 1 ∗ （ 1 − q i − 1 ） / ( 1 − q ) a1*（1 - q^{i - 1}）/(1-q) a1∗（1−qi−1）/(1−q)
带入a1 = 1，q = 2.得
2 n − 1 2^{n} - 1 2n−1
所以有深度为i的二叉树至多有 2 n − 1 2^{n} - 1 2n−1个结点。
二叉树的性质3
辅助记忆：1,2，4,8。等比数列的前四项都有如下关系，1+2 = 4-1,1+2+4 = 8-1，也就是某一层的结点数是前面的结点数加起来再加1。这样就有
对任何一颗二叉树T，如果其终端节点数为n0，度为2的结点数n2，则有n0 = n2 +1
二叉树的性质4
已知满二叉树的结点数是 n 1 = 2 k − 1 n1 = 2^{k} - 1 n1=2k−1,完全二叉树的结点n不会大于满二叉树的结点，但是不会小于 n 2 = 2 k − 1 − 1 n2 = 2^{k - 1} - 1 n2=2k−1−1
所以 n2 <= n <= n1.。不等式全部加1， n2 + 1<= n +1 <= n1 + 1，两边再取对数，
深度k
二叉树的性质5
如果对一颗有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对任意结点 i 有：
1 如果 i= 1，则结点 i 是二叉树的根，无双亲；如果 i> 1,则有双亲，双亲序号为【 i/2 】取整。
2 如果2i > n,则结点 i 无左孩子。否则左孩子序号为2i。
3 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子结点为2i+1.
二叉树的存储结构
顺序存储结构只用于完全二叉树，若是其它类型的树，如右斜树，会造成空间的浪费。
链式存储结构
结点分为数据域和指针域两个部分
数据域：存储数据
指针域：lchild指针指向左孩子的地址，rchild指针指向右孩子的地址
typedef struct link_Tree
{
char data;
struct link_Tree *lchild,*rchild;
}TreeNODE,*TREEPTR;
遍历二叉树
二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序一次访问二叉树中所有的结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
二叉树遍历方法
前序遍历法
若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后遍历左子树，再前序遍历右子树。
代码如下：
void lookup_tree(TREEPTR T)
{
if(T == NULL)
return;
printf("%c",T->data);
lookup_tree(T ->lchild);
lookup_tree(T ->rchild);
}
中序遍历法
若树为空，则操作返回，否则从根结点开始，中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。
void lookup_tree_bymin(TREEPTR T)
{
if(T == NULL)
return;
lookup_tree(T ->lchild);
printf("%c",T->data);
lookup_tree(T ->rchild);
}
后序遍历法
若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。
void lookup_tree_bylast(TREEPTR T)
{
if(T == NULL)
return;
lookup_tree(T ->lchild);
lookup_tree(T ->rchild);
printf("%c",T->data);
}
所以：已知前序和中序遍历序列能确定一棵树，已知后序和中序序列也能确定一棵树。
但是已知前序和后序是不能确定树的。
二叉树的建立
约定输入#符号代表空树，输入其它字符则开创一个结点，存储数据。
与遍历树一样，这里使用前序遍历的思想，创建一颗树。
- 传入树结点的指针
- 接受输入字符
- 判断输入字符，若是#，则指向NULL；若是其它字符，则开辟一个结构体类型的空间，并把地址赋给指针
- 再次调用函数本身，把当前结点的 lchild 指针的地址作为参数
- 再次调用函数本身，把当前结点的 rchild 指针的地址作为参数
代码如下：
void creat_tree(TREEPTR T)
{
char ch;
scanf("%c",&ch);
if(ch == '#')
T = NULL;
else
{
T = (TREEPTR)malloc(sizeof(TreeNODE));
if(!T)
exit(OVERFLOW);
T ->data = ch;
creat_tree(&T ->lchild);
creat_tree(&T ->rchild);
}
}
线索二叉树
充分利用二叉树结点中指向NULL的空指针，若使用中序遍历，使lchild指针指向前驱，rchild指针指向后继结点，这些指针就称为线索，加上线索的二叉树链表称为线索链表，相应的二叉树就是线索二叉树了。
为了区分左右孩子指针是指向孩子还是前驱或者后继，需要增加两个标记，ltag和rlag，它们是存放0和1的布尔型变量
所以每个结点有 lchild ltag data rtag rchild 五个元素
其中，
- ltag为0时指向该结点的左孩子，为1时指向该结点的前驱
- rtag为0时指向该结点的右孩子，为1时指向该结点的后继
经过上述操作后，二叉树实际上被转换成一个双向链表了，链表的结点顺序与根据中序遍历二叉树的结点顺序相同。
线索二叉树结构实现
正如前面所述，结点内包含 lchild ltag data rtag rchild 五个元素。
typedef enum {Link,Thread} PointerTag;
typedef struct BiThrNode
{
char data;
struct BiThrNode *lchid,*rchild;
PointerTag ltag;
PointerTag rtag;
}BiThrNode,*BiThrTree;
中序遍历线索化的递归函数代码如下：
1 判断树的根结点是否为空
2 根据中序遍历思想，调用递归函数，先遍历左子树，不断入栈，直到最左边的叶子，没有左孩子，开始出栈。函数层层往上出栈。
3 到了双亲结点层面的函数，执行前驱，后继线索的赋值，再递归调用函数，遍历右孩子。
4 倒数第二层函数结束后，就出栈第三层函数。
函数代码如下：
BiThrTree pre = NULL;
BiThrTree InThreading(BiThrTree current,BiThrTree head)
{
if(current)
{
InThreading(current->lchid);
if(!current->lchid)
{
if(pre == NULL)
{
current->ltag =Thread;
current->lchid = head;
}
current->ltag = Thread;
current->lchid = pre;
}
if(!pre->rchild)
{
pre->rtag = Thread;
pre->rchild = current;
}
pre = current;
InThreading(current->rchid);
}
return current;
}
head->lchid = current;
BiThrTree last = InThreading(current,head);
last->rchild = head;
last->rtag = Thread;
head->rchild = last;
head->rtag = Thread;