迪克斯特拉（Dijkstra）算法之MATLAB实现

                                                                                           by WC 1.12.2016 

1. 迪克斯特拉（Dijkstra）算法
在网上面看了很多的解释，仍没有感觉到有非常通熟易懂的解释，在这里我为大家讲解一下，尽量避免枯燥难懂的数学公式。
狄克斯特拉算法。是从一个特定的顶点（又可称为原点，可自己定义）到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。举个例子，通熟易懂 .

圆圈表示一个顶点，每两个圆圈之间的线段上面的数字表示权值，这个权值可以表示从一个点到另外一个点所需要的时间，距离等等花销，在本例，表示距离。。每个圆圈里面写着原点到这个点的距离。
我们先设置两个顶点的集合T和S：
1）S中存放已找到最短路径的顶点，初始时，集合S中只有一个顶点，即、原点V0，我们在V0圆圈内写0，本身到本身的距离时0
2）T中存放当前还没找到最短路径的顶点，我们将除了V0以外的所有点的距离写无穷大，在这里我们都写99。

找到S中的第一个点s(1)，即原点，从原点开始，寻找与s(1)相连的最近一层的权值最小的点

找到S中的第二个点s(2)，即在与原点相连的权值2，6,，9找到最小权值2，将其所对应的点的圆圈里面写2，表示原点到这个点的最短距离为2

找到S中第三个点s(3)的最短路径，写上3，，表示原点到这个点的最短距离为3，记住：这个3不是表示S中的存放的序号，而是表示原点到此点的距离

找到S中的第四个点s(4)，最小距离=2+1+1=4，即(1)-s(2)-s(3)-s(4)，小于原点直接到s(4)的距离s(0)-s(4) =6

以下的类似




所以迪克拉算法的核心就是从原点出发（原点可以是自己定义的任意一个点），以原点为圆心，半径从小到大，判断原点到半径上面的点的最短距离，这个距离可能是圆心r0->r1（半径较小）->r2（半径较大）或者是r0->r2（如果存在r0到r2这条路径的话）

2.MATLAB实现
例 某公司在六个城市c1, c2,,,, c6 中有分公司，从 ci到 cj 的直接航程票价记在
下述矩阵的 (i, j) 位置上。（∞ 表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市 c1 到其它城市间的票价最便宜的路线图。

用矩阵
a[n,n]（n 为顶点个数）存放各边权的邻接矩阵， 行向量 pb 、 index1、 index2 、d 分别用来存放 P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。其中分量

index2(i) 存放始点到第i 点最短通路中第i 顶点前一顶点的序号；
d(i) 存放由始点到第i 点最短通路的值。
求第一个城市到其它城市的最短路径的 Matlab 程序如下：

clc,clear all
a=zeros(6);
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;               
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;
a(3,4)=10;a(3,5)=20;
a(4,5)=10;a(4,6)=25;
a(5,6)=55;
a=a+a'                                                  
a(find(a==0))=inf %将a=0的数全部替换为无强大               
pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;  %当一个点已经求出到原点的最短距离时，其下标i对应的pb(i)赋1
index1=1; %存放存入S集合的顺序
index2=ones(1,length(a)); %存放始点到第i点最短通路中第i顶点前一顶点的序号
d(1:length(a))=inf;d(1)=0;  %存放由始点到第i点最短通路的值
temp=1;  %temp表示c1,算c1到其它点的最短路。
while sum(pb)<length(a)  %看是否所有的点都标记为P标号
tb=find(pb==0); %找到标号为0的所有点,即找到还没有存入S的点
d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));%计算标号为0的点的最短路，或者是从原点直接到这个点，又或者是原点经过r1,间接到达这个点
tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));  %求d[tb]序列最小值的下标
temp=tb(tmpb(1));%可能有多条路径同时到达最小值，却其中一个，temp也从原点变为下一个点
pb(temp)=1;%找到最小路径的表对应的pb(i)=1
index1=[index1,temp];  %存放存入S集合的顺序
temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));
index2(temp)=index1(temp2(1)); %记录标号索引
end
d, index1, index2

上面的程序第一次看并不能看懂，需要读者在MATLAB中一步一步的单步运行，记住：是设置断点，单步运行，同时观察矩阵的值的变化情况。结果附在下面

d =

 0    35    45    35    25    10

index1 =

 1     6     5     2     4     3

index2 =

 1     6     5     6     1     1