【数据结构笔记03】算法实例：最大子列和

本次笔记内容：
1.3.1 应用实例_算法1&2
1.3.2 应用实例_算法3
1.3.3 应用实例_算法4

最大子列和问题

给定N个整数的序列$\{A_1,A_2,...,A_N\}$，求函数$f(i,j)=max0,{\sum }_{k=1}^j{A}_k$的最大值。

算法1：把所有子列拿出来比较（暴力法）

int MaxSubseqSum1(int A[], int N)
{
    int ThisSum, MaxSum = 0;
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < N; i++)
    {
        for (j = 1; j < N; j++)
        {
            ThisSum = 0;
            for (k = i; k <= j; k++)
                ThisSum += A[k];
            if (ThisSum > MaxSum)
                MaxSum = ThisSum;
        }
    }
    return MaxSum;
}

复杂度$T(N)=O(N^3)$

算法2：不做重复的加法

int MaxSubseqSum2(int A[], int N)
{
    int ThisSum, MaxSum = 0;
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < N; i++)
    {
        ThisSum = 0;
        for (j = i; j < N; j++)
        {
            ThisSum += A[j];
            if (ThisSum > MaxSum)
                MaxSum = ThisSum;
        }
    }
    return MaxSum;
}

复杂度$T(N)=O(N^2)$

算法3：分而治之（见到N^2转换为NlogN）

int Max3(int A, int B, int C)
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
    return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}

int DivideAndConquer(int List[], int left, int right)
{                                            /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
    int MaxLeftSum, MaxRightSum;             /* 存放左右子问题的解 */
    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/

    int LeftBorderSum, RightBorderSum;
    int center, i;

    if (left == right)
    { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */
        if (List[left] > 0)
            return List[left];
        else
            return 0;
    }

    /* 下面是"分"的过程 */
    center = (left + right) / 2; /* 找到中分点 */
    /* 递归求得两边子列的最大和 */
    MaxLeftSum = DivideAndConquer(List, left, center);
    MaxRightSum = DivideAndConquer(List, center + 1, right);

    /* 下面求跨分界线的最大子列和 */
    MaxLeftBorderSum = 0;
    LeftBorderSum = 0;
    for (i = center; i >= left; i--)
    { /* 从中线向左扫描 */
        LeftBorderSum += List[i];
        if (LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum)
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
    } /* 左边扫描结束 */

    MaxRightBorderSum = 0;
    RightBorderSum = 0;
    for (i = center + 1; i <= right; i++)
    { /* 从中线向右扫描 */
        RightBorderSum += List[i];
        if (RightBorderSum > MaxRightBorderSum)
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
    } /* 右边扫描结束 */

    /* 下面返回"治"的结果 */
    return Max3(MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum);
}

int MaxSubseqSum3(int List[], int N)
{ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
    return DivideAndConquer(List, 0, N - 1);
}

算法4：在线处理

代码如下图：

算法效率高是有代价的：其正确性不明显（他人难以理解算法是如何工作的）。