矩阵链的乘法问题

动态规划合集：

1.矩阵链乘法
2.投资组合问题
3.完全背包问题
4.01背包问题
5.最长公共子序列

例题1——矩阵链乘法

动态规划算法设计要素：（《算法设计与分析 屈婉玲》）

1. 划分子问题，用参数表达子问题的边界，将问题求解转变为多步判断的过程。
2. 确定优化函数，以函数的极大（或极小）作为判断依据，确定是否满足优化原则
3. 列出关于优化函数的递推方程（或不等式）和边界条件
4. 考虑是否需要设置标记函数，以记录划分位置
5. 自底向上计算，以备忘录方式存储中间结果
6. 根据备忘录（和标记函数）追溯给出的最优解

描述

设 为矩阵序列，为阶矩阵，i = 1,2,3...n.试确定矩阵的乘法顺序，使得元素相乘的总次数最少。

输入：向量其中

输出：最小的乘法次数以及矩阵链乘法加括号的位置。

样例：

input: P=<30,35,15,5,10,20> n=5

output: 11875 3,1

输出的意义表示：以形式相乘，乘法计算次数最低为11875次

分析

对于的矩阵链，其任一划分之后，会出现两个子问题而我们需要计算的是两个子问题。对于每个子问题 都有矩阵链的前后两个边界，对于来说前边界是1后边界是k。我们令m[i,j]来表示矩阵链的最优解。那么假设在i到j的任意位置划分，得到。那么的最优解就依赖于两个子问题。这种依赖关系写成递推方程就是：

递归方式伪码

递归伪码

迭代方式伪码

迭代伪码

实现代码过程

import java.util.ArrayList;

public class MatrixMutilpy {
    public static int  p[] = {30,35,15,5,10,20};
    // n 是数字的长度  而实际矩阵个数为 n-1
    public static int n = p.length;
    public static int m[][] = new int[n][n];
    public static int s[][] = new int [n][n];
    // 递归形式
    // 递推方程为： m[i][j] = min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]}  i<= k  find(){
        ArrayList result = new ArrayList<>();
        int i = 1;
        int j = n-1;
        while(true){
            int t = s[i][j];
            result.add(t);
            j = t;
            if(i == j) break;
        }
        return result;
    }
    public static void main(String[] args) {
        MatrixMutilpy test = new MatrixMutilpy();
        for (int k = 0; k < n; k++) {
            for (int l = 0; l < n ; l++) {
                m[k][l] = Integer.MAX_VALUE;
                s[k][l] = 0;
            }
        }
        int result = test.recurMatrixChain(p,1,p.length-1);
        System.out.println(result);

        for (int k = 0; k < n; k++) {
            for (int l = 0; l < n ; l++) {
                m[k][l] = 0;
                s[k][l] = k;
            }
        }
        MatrixMutilpy test1 = new MatrixMutilpy();
        int result2 = test1.IteratorMatrixChain(p);
        System.out.println(result2);

        ArrayList res = find();
        System.out.println(res);
    }
}