算法：分治法（详解及例题）

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1. 简介

        分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)

        分治法可以通俗的解释为:把一片领土分解，分解为若干块小部分，然后一块块地占领征服，被分解的可以是不同的政治派别或是其他什么，然后让他们彼此异化。

        分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

2. 适用条件

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

3. 实现步骤

        分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

        如果原问题可分割成k个子问题，1

        分治法在每一层递归上都有三个步骤：

• 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
• 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
• 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
  

4. 例题解析

4.1 二分查找

        二分查找是典型的分治算法的应用。二分查找需要一个默认的前提，那就是查找的数列是有序的。

二分查找的思路比较简单：

1） 选择一个标志 i 将集合分为二个子集合 （一般为中间位置）
2） 判断标志L( i )是否能与要查找的值value相等，相等则直接返回
3）否则判断L( i )与value的大小
4） 基于判断的结果决定下步是向左查找还是向右查找
5） 递归记性上面的步骤

# 子问题算法（子问题规模为 1, 判断是否为值value）
def is_in_list(init_list, value):
    return [False, True][init_list[0] == value]

# 分治法
def solve(init_list, value):
    lens = len(init_list)
    # 若问题规模等于 1，直接解决
    if lens == 1: 
        return is_in_list(init_list, value)
    # 分解（子问题规模为 n/2）
    left_list, right_list = init_list[:lens//2], init_list[lens//2:]   
    # 递归（树），分治，合并
    res =  solve(left_list, value) or solve(right_list, value)
    return res

4.2 最大子序和（LeetCode题）

        给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

        输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
        输出: 6
        解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        n = len(nums)
        #递归终止条件
        if n == 1:
            return nums[0]
        else:
            #递归计算左半边最大子序和
            max_left = self.maxSubArray(nums[0:len(nums) // 2])
            #递归计算右半边最大子序和
            max_right = self.maxSubArray(nums[len(nums) // 2:len(nums)])
        
        #计算中间的最大子序和，从右到左计算左边的最大子序和，从左到右计算右边的最大子序和，再相加
        max_l = nums[len(nums) // 2 - 1]
        tmp = 0
        # 从 nums[len(nums) // 2 - 1] 到 nums[0]
        for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
            tmp += nums[i]
            max_l = max(tmp, max_l)
        max_r = nums[len(nums) // 2]
        tmp = 0
        for i in range(len(nums) // 2, len(nums)):
            tmp += nums[i]
            max_r = max(tmp, max_r)
        #返回三个中的最大值
        return max(max_right,max_left,max_l+max_r)