DFT对模拟信号作频谱分析出现的问题

DFT圆周对称性

将DFS排列在$0\le n\le N-1$的圆周上,序列是关于圆周对称的.所以得到的DFS前$\frac{N}{2}$项表示区间$[0,\frac{fs}{2}]$上的频率分量,而后$\frac{N}{2}$项表示区间$[-\frac{fs}{2},0]$上的频率分量.

DFT圆周对称性的根本原因来自于实序列DTFT的对称性

实序列的Fourier变换$X(e^{j\omega })$满足共轭对称性
$$X(e^{j\omega })=X^{\ast }(e^{-j\omega })$$
也就是说,$X(e^{j\omega })$的
实部满足偶对称关系,虚部满足奇对称关系
模满足偶对称关系,相位满足奇对称关系

DFT后横轴的量纲

我们在对有限长采样序列进行DFT后，得到的是一组无量纲的DFS系数，所以现在问题就在于如何关联到频率，进行频率分析.
对于周期信号,一个周期内的相移为$2\pi$,将一个周期分为N个采样点,那么相邻两个点之间应该有相位差$\frac{2\pi }{N}$,采样时间为$\frac{1}{f_s}$,所以可知两采样点频率间隔为$\frac{f_s}{N}$.
其他解释

频率分辨率

DFT可认为是对DTFT主值周期的抽样，而抽样的间隔正是两采样点频率间隔为$\frac{f_s}{N}$,因此频谱会存在一个最小分辨间距，若两个频率分量的峰值小于这个间距，则不能被识别.

频谱混叠失真

当抽样频率f_s不满足抽样定理时,频域的周期延拓会产生混叠,导致频谱的混叠失真.
在选择f_s时,应保证$f\le \frac{f_s}{2}$内包含98%的能量,在$f_s=(3\sim 6)f_h$内选择.

频谱泄露

时域相乘，频域卷积.在对时域截短近似时,可视作原序列与窗函数相乘,由于窗函数频谱的特性,原序列的频谱将发生非线性变化(产生新的频谱分量)

频谱泄露将产生一下几点问题

1. 谱线展宽，降低频率分辨率
   以正弦型函数为例，频谱应当为脉冲，但实际截短后，频谱能量主要分布在矩形窗频谱的主瓣内，相当于使原来的频谱展宽.因此,当两频率分量相隔小于主瓣宽度的一半$\frac{2\pi }{\tau }$,由于频谱泄露，导致叠加后不能分辨.
   所以,矩形窗的主瓣宽度决定了相邻频率的分辨能力,因而将主瓣宽度的一半定义为矩形窗的频率分辨率
   $$\Delta f=\frac{1}{N}$$
2. 谱间串扰
   由于截短后产生很多旁瓣，可能使强信号的旁瓣掩盖弱信号的主瓣，降低分辨率

为了减轻截断效应，可以

1. 采用缓变型窗函数，使旁瓣快速衰减
2. 增加取样点数N，使主瓣更窄

栅栏效应

在用DFT进行频谱分析时，根据上文可知，得到的频谱是有分辨率的，也就是说，我们实际看到的只是连续频谱的相隔$\frac{f_s}{N}$的抽样,在抽样点外的信息我们是看不见的.
为了减小栅栏效应,可以

1. 在数据长度不变(截取时间不变)的情况下,增加采样频率，获得更多的采样点数.
2. 在有效数据中补零,增加DFT的计算点数.

关于高密度谱与高分辨谱的说明：
高密度谱:频域一个周期内计算点数更多，从而使频谱更加平滑.
高分辨谱:拥有更高的分辨能力,通常对应更多的采样点数
虽然补零后使一个周期内的点数增加，样点间隔更近，但是补零比没有添加有用的信息，所以补零不能提高分辨率.
通俗一点说,把64点补成256点 和 128点补成256点,虽然点数一样了，能看见绝对不一样,而且64点看不到的补成512点还是看不到,但是它两看起来都很圆润.
增加频谱分辨率的唯一方法只有增加采样点数N