矩阵论学习笔记三：矩阵分析及其应用

参考书：《矩阵论》第3版，程云鹏 张凯院 徐仲编著 西北工业大学出版社

1. 矩阵分析理论的意义：矩阵分析理论的建立，同数学分析一样，也是以极限理论为基础的，其内容丰富，是研究数值方法和其他数学分支以及许多工程问题的重要工具。首先讨论矩阵序列的极限运算；然后介绍矩阵序列和矩阵级数的收敛定理、矩阵幂级数和一些矩阵函数；最后介绍矩阵的微分和积分的概念及其性质，同时介绍它们在微分方程组中的应用

2. 矩阵序列

    1）矩阵序列的收敛性

        a）定义3.1

        b）矩阵序列收敛

            性质1：矩阵序列一般项乘以个数的极限；矩阵序列一般项之和的极限

            性质2：两收敛矩阵序列的一般项乘积 -> 两矩阵序列的极限矩阵的乘积

            性质3：矩阵序列的一般项与矩阵序列的极限矩阵均为逆矩阵，则矩阵序列一般项的逆矩阵组成的矩阵序列 -> 该极限矩阵的逆矩阵

       c）定理3.1：矩阵序列一般项->零向量的充要条件是： || 矩阵序列一般项||->0；

                               矩阵序列一般项->矩阵A的充要条件是： || 矩阵序列的一般项 - 矩阵A ||->0

    2）矩阵序列的收敛性

        a）矩阵序列有界（定义3.2）：一般项矩阵的各元素有界

        b）收敛矩阵（定义3.3）：方阵A的一般项的极限为零向量 ，则称

        c）定理3.2（充要）：（方阵A的k次幂 -> 零向量）   <-> （ A的谱半径<1）；证明据定理2.10，定理3.1

        d）定理3.3（充分）：（有一种矩阵范数使||方阵A|| < 1） -> (方阵A的k次幂 -> 零向量)；证明据定理2.9、定理3.2

3. 矩阵级数

    1）矩阵级数，特别是矩阵幂级数是建立矩阵函数的依据；讨论矩阵级数的收敛、发散、和等概念，这些与数项级数的相应定义与性质完全类似

    2）矩阵级数

        a）矩阵级数的定义（定义3.4）：矩阵序列无穷和

        b）矩阵级数的收敛性

            收敛、发散（定义3.5）：部分和序列收敛，则矩阵级数收敛，且其和为部分和序列的极限；发散

            绝对收敛（定义3.6）：部分和序列一般项矩阵矩阵A的m*n数项级数元素绝对收敛

        c）判别矩阵级数收敛性的法则

            性质1：矩阵级数绝对收敛->收敛，且任意调换其项的顺序，所得级数仍收敛，和不变；对应数项级数的Dirichlet定理

            性质2（充要）：矩阵级数绝对收敛 <-> 矩阵级数各项对应的矩阵范数形成的正项级数收敛；证明据绝对收敛定义、m1范数、矩阵范数的等价性、正项级数的比较判别法

            性质3：矩阵级数收敛（绝对收敛），它左乘或右乘矩阵后，仍收敛（绝对收敛），...；证明据定义3.4、性质2、矩阵范数的相容性

            性质4：柯西乘积；

    3）矩阵幂级数

        a）方阵幂级数

            定理3.4：方阵幂级数收敛的充要条件（A为收敛矩阵）及收敛时其和（（I - A）逆矩阵）；证明据矩阵级数的元素的数项级数、收敛必要条件为一般项极限为零、定理3.2

            定理3.5：若方阵对某一种矩阵范数的值<1，则对于非负整数k，以（(I-A)逆矩阵）为方阵的幂级数的部分和的近似时，其误差 <= （||A||的k+1次幂）/（1- ||A||）；证明据定理3.3、定理2.9

        b）矩阵幂级数与纯量幂级数的关系

            定理3.6：已知纯量幂级数的收敛半径r；若方阵A的谱半径 < r，则与纯量幂级数对应的矩阵幂级数是绝对收敛的；若方阵A的谱半径>r，则其是发散的；

                              证明据定理2.10、矩阵范数的齐次性和相容性、数项级数的比较判别法、矩阵级数性质2、定理1.17（任意矩阵与三角矩阵相似的证明）、矩阵级数性质3

            定理3.6推论：如果纯量幂级数在整个复平面上是收敛的，那么无论A是任何矩阵，与纯良幂级数对应的矩阵幂级数总是绝对收敛的

4. 矩阵函数

    1）矩阵函数的定义与性质

        a）矩阵函数的概念与通常函数概念一样，是以n阶矩阵为自变量和函数值（因变量）的一种函数。以定理3.6及矩阵级数和的概念为依据，给出矩阵函数的定义

        b）矩阵函数的定义及性质

            定义3.7：

            exp(A)，cos(A)，sin(A)，exp(jA)，cos(-A)，sin(-A)，cos(A)、sin(A)、exp(jA)间的对应关系

            定理3.7：如果AB = BA，则exp(A)*exp(B) = exp(B)*exp(A) = exp(A+B)

            定理3.7推论1：exp(A)*exp(-A) = exp(-A)*exp(A) = I,exp(A)逆矩阵 = exp(-A)

            定理3.7推论2：m为整数exp(A)的m次幂 = exp(mA)

    2）矩阵函数值的求法

        a）待定系数法：

            实现思路：矩阵的特征多项式-->首1多项式，能整除特征多项式且以A为矩阵根的m次多项式（最小多项式/特征多项式）-->f = 纯量幂级数=该m次特征多项式*多项式+多项式r（次数小于m）-->f（A特征值） = r（A特征值）、导数确定多项式r系数-->f（A）

            求exp(A)及exp(tA)

        b）数项级数求和法

            实现思路：确定首1m次多项式r且以矩阵A为根（特征多项式）-->求矩阵A的m次幂 -->根据待求矩阵函数的级数和值确定函数值

            求sin（A）

        c）对角形法

            实现思路：当A与对角矩阵相似时，可将矩阵幂级数的求和问题转化为求变换矩阵的问题。求n阶矩阵A特征多项式-->求与特征多项的特征值对应的特征向量-->构造矩阵P，使（P逆）* A * P = diag(以A特征值为对角元素) -->矩阵函数f的函数值f(A) = P * diag( f(A特征值) ) *P

            求exp(A)、exp(tA)、cos(A)

        d）Jordan标准形法

            实现思路：矩阵幂级数求和问题转化为矩阵的Jordan标准形变换矩阵的问题。求n阶矩阵A的特征值和广义特征向量-->构造矩阵P确定矩阵A的Jordan标准形-->求矩阵A的Jordan标准形中每个Jordan块的函数值 f(Jordan块) -->据前面结果确定矩阵A的Jordan标准形的函数值-->矩阵A的函数值

    3）矩阵函数的另一定义

        a）前面矩阵函数的实质就是先将纯量函数展开为收敛的幂级数，然后以矩阵代替纯量，得到矩阵幂级数，对于任意给定的函数要求能够展开成收敛幂级数的条件较强，一般不易满足，因此需要拓展矩阵函数的定义

        b）定义3.8：根据矩阵的Jordan标准形定义

        c）根据定义3.8求矩阵函数

        d）结论（3条）：

            定义3.8中给出的矩阵函数f(A)与矩阵A的Jordan标准形中Jordan块的排列次序无关，与矩阵P的选取无关

            f(z) = f1(z) + f2(z)， 则，f(A) = f1(A) + f2(A)

            f(z) = f1(z)*f2(z) ，则f(A) = f1(A) * f2(A)

5. 矩阵的微分和积分

    1）矩阵的导数与积分

        a）矩阵的导数定义定义3.9

        b）矩阵的导数的运算法则：

            定理3.8

            定理3.9

        c）定义3.10：

    2）其它微分概念

        a）在自动控制理论以及其他科学领域中，还要讨论纯量对于向量，向量对于向量，矩阵对于向量以及矩阵对于矩阵的微商

        b）函数对矩阵的导数

        c）函数矩阵对矩阵的导数

6. 矩阵函数的一些应用：矩阵函数及其微积分运算的应用

    1）一阶线性常系数齐次微分方程组

        a）定理3.10：内容；微分方程组的基础解系、一般解（通解）；证明据Maclaurin级数、矩阵的微分

        b）求解一阶线性常系数齐次微分方程组

        c）积分方程、Jacobi恒等式

    2）一阶线性常系数非齐次微分方程组

        a）求解一阶线性常系数非齐次微分方程组的解的推导过程；

        b）先求齐次线性方程组的通解；再采取常向量变异法求特解；方程组的解= 通解+特解

        c）求解一阶线性常系数非齐次微分方程组