数据结构与算法之美笔记: 红黑树

 

二叉查找树在频繁的动态更新过程中，可能会出现树的高度远大于 log2n 的情况，从而导致各个操作的效率下降。

极端情况下，二叉树会退化为链表，时间复杂度会退化到 O(n)。

 

 

什么是“平衡二叉查找树”？

平衡二叉树的严格定义是这样的：

二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于 1。

从这个定义来看，上一节我们讲的完全二叉树、满二叉树其实都是平衡二叉树，但是非完全二叉树也有可能是平衡二叉树。

 

 

发明平衡二叉查找树这类数据结构的初衷是，

解决普通二叉查找树在频繁的插入、删除等动态更新的情况下，

出现时间复杂度退化的问题。

 

平衡二叉查找树中“平衡”的意思，其实就是让整棵树左右看起来比较“对称”、比较“平衡”，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况。

这样就能让整棵树的高度相对来说低一些，相应的插入、删除、查找等操作的效率高一些。

 

如何定义一棵“红黑树”？

红黑树的英文是“Red-Black Tree”，简称 R-B Tree。它是一种不严格的平衡二叉查找树

红黑树中的节点，一类被标记为黑色，一类被标记为红色。

除此之外，一棵红黑树还需要满足这样几个要求：

• 根节点是黑色的；

• 每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL），也就是说，叶子节点不存储数据；

• 任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的；

• 每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；

 

这里的第二点要求“叶子节点都是黑色的空节点”，稍微有些奇怪，它主要是为了简化红黑树的代码实现而设置的，

下一节我们讲红黑树的实现的时候会讲到。

这节我们暂时不考虑这一点，所以，在画图和讲解的时候，我将黑色的、空的叶子节点都省略掉了。

 

 

为什么说红黑树是“近似平衡”的？

平衡二叉查找树的初衷，是为了解决二叉查找树因为动态更新导致的性能退化问题。

所以，“平衡”的意思可以等价为性能不退化。“近似平衡”就等价为性能不会退化的太严重。

 

二叉查找树很多操作的性能都跟树的高度成正比。

二叉查找树很多操作的性能都跟树的高度成正比。一棵极其平衡的二叉树（满二叉树或完全二叉树）的高度大约是 log2n，

所以如果要证明红黑树是近似平衡的，我们只需要分析，红黑树的高度是否比较稳定地趋近 log2n 就好了。

 

红黑树的高度不是很好分析，我带你一步一步来推导。

首先，我们来看，如果我们将红色节点从红黑树中去掉，那单纯包含黑色节点的红黑树的高度是多少呢？

 

红色节点删除之后，有些节点就没有父节点了，它们会直接拿这些节点的祖父节点（父节点的父节点）作为父节点。

所以，之前的二叉树就变成了四叉树。

 

前面红黑树的定义里有这么一条：

从任意节点到可达的叶子节点的每个路径包含相同数目的黑色节点。

我们从四叉树中取出某些节点，放到叶节点位置，四叉树就变成了完全二叉树。

所以，仅包含黑色节点的四叉树的高度，比包含相同节点个数的完全二叉树的高度还要小。

 

 

上一节我们说，完全二叉树的高度近似 log2n，这里的四叉“黑树”的高度要低于完全二叉树，

所以去掉红色节点的“黑树”的高度也不会超过 log2n。

 

我们现在知道只包含黑色节点的“黑树”的高度，那我们现在把红色节点加回去，高度会变成多少呢？

 

从上面我画的红黑树的例子和定义看，

在红黑树中，红色节点不能相邻，也就是说，有一个红色节点就要至少有一个黑色节点，将它跟其他红色节点隔开。

红黑树中包含最多黑色节点的路径不会超过 log2n，所以加入红色节点之后，最长路径不会超过 2log2n，

也就是说，红黑树的高度近似 2log2n。

 

所以，红黑树的高度只比高度平衡的 AVL 树的高度（log2n）仅仅大了一倍，

在性能上，下降得并不多。

这样推导出来的结果不够精确，实际上红黑树的性能更好。

 

为什么在工程中大家都喜欢用红黑树这种平衡二叉查找树？

我们前面提到 Treap、Splay Tree，绝大部分情况下，它们操作的效率都很高，但是也无法避免极端情况下时间复杂度的退化。

尽管这种情况出现的概率不大，但是对于单次操作时间非常敏感的场景来说，它们并不适用。

 

AVL 树是一种高度平衡的二叉树，所以查找的效率非常高，但是，有利就有弊，AVL 树为了维持这种高度的平衡，就要付出更多的代价。每次插入、删除都要做调整，就比较复杂、耗时。所以，对于有频繁的插入、删除操作的数据集合，使用 AVL 树的代价就有点高了。

红黑树只是做到了近似平衡，并不是严格的平衡，所以在维护平衡的成本上，要比 AVL 树要低。

所以，红黑树的插入、删除、查找各种操作性能都比较稳定。

对于工程应用来说，要面对各种异常情况，为了支撑这种工业级的应用，我们更倾向于这种性能稳定的平衡二叉查找树。

 

实现红黑树的基本思想

一棵合格的红黑树需要满足这样几个要求：

• 根节点是黑色的；

• 每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL），也就是说，叶子节点不存储数据；

• 任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的；

• 每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点。

 

在插入、删除节点的过程中，第三、第四点要求可能会被破坏，而我们要做的“平衡调整”，

实际上就是要把被破坏的第三、第四点恢复过来。

 

左旋（rotate left） = 围绕某个节点的左旋，

右旋（rotate right）  = 围绕某个节点的右旋。

 

 

插入操作的平衡调整

红黑树规定，插入的节点必须是红色的。而且，二叉查找树中新插入的节点都是放在叶子节点上。

所以，关于插入操作的平衡调整，有这样两种特殊情况，但是也都非常好处理。

 

• 如果插入节点的父节点是黑色的，那我们什么都不用做，它仍然满足红黑树的定义。

• 如果插入的节点是根节点，那我们直接改变它的颜色，把它变成黑色就可以了。

除此之外，其他情况都会违背红黑树的定义，于是我们就需要进行调整，调整的过程包含两种基础的操作：

左右旋转和改变颜色。

 

红黑树的平衡调整过程是一个迭代的过程。

 

我们把正在处理的节点叫作关注节点。

关注节点会随着不停地迭代处理，而不断发生变化。

最开始的关注节点就是新插入的节点。

 

新节点插入之后，如果红黑树的平衡被打破，那一般会有下面三种情况。

我们只需要根据每种情况的特点，不停地调整，就可以让红黑树继续符合定义，也就是继续保持平衡。

 

我们下面依次来看每种情况的调整过程。

提醒你注意下，为了简化描述，我把父节点的兄弟节点叫作叔叔节点，父节点的父节点叫作祖父节点。

 

CASE 1：如果关注节点是 a，它的叔叔节点 d 是红色，我们就依次执行下面的操作：

• 将关注节点 a 的父节点 b、叔叔节点 d 的颜色都设置成黑色；

• 将关注节点 a 的祖父节点 c 的颜色设置成红色；

• 关注节点变成 a 的祖父节点 c；

• 跳到 CASE 2 或者 CASE 3。

 

 

CASE 2：如果关注节点是 a，它的叔叔节点 d 是黑色，关注节点 a 是其父节点 b 的右子节点，我们就依次执行下面的操作：

• 关注节点变成节点 a 的父节点 b；

• 围绕新的关注节点b 左旋；

• 跳到 CASE 3。

 

CASE 3：如果关注节点是 a，它的叔叔节点 d 是黑色，关注节点 a 是其父节点 b 的左子节点，我们就依次执行下面的操作：

• 围绕关注节点 a 的祖父节点 c 右旋；

• 将关注节点 a 的父节点 b、兄弟节点 c 的颜色互换。

• 调整结束。

 

 

删除操作的平衡调整

红黑树插入操作的平衡调整还不是很难，但是它的删除操作的平衡调整相对就要难多了。

不过原理都是类似的，我们依旧只需要根据关注节点与周围节点的排布特点，按照一定的规则去调整就行了。

 

删除操作的平衡调整分为两步，

第一步是针对删除节点初步调整。

 

初步调整只是保证整棵红黑树在一个节点删除之后，仍然满足最后一条定义的要求，也就是说，每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；

 

第二步是针对关注节点进行二次调整，

让它满足红黑树的第三条定义，即不存在相邻的两个红色节点。

 

1. 针对删除节点初步调整

这里需要注意一下，红黑树的定义中“只包含红色节点和黑色节点”，经过初步调整之后，为了保证满足红黑树定义的最后一条要求，有些节点会被标记成两种颜色，“红 - 黑”或者“黑 - 黑”。如果一个节点被标记为了“黑 - 黑”，那在计算黑色节点个数的时候，要算成两个黑色节点。

在下面的讲解中，如果一个节点既可以是红色，也可以是黑色，在画图的时候，我会用一半红色一半黑色来表示。如果一个节点是“红 - 黑”或者“黑 - 黑”，我会用左上角的一个小黑点来表示额外的黑色。

 

CASE 1：如果要删除的节点是 a，它只有一个子节点 b，那我们就依次进行下面的操作：

• 删除节点 a，并且把节点 b 替换到节点 a 的位置，这一部分操作跟普通的二叉查找树的删除操作一样；

• 节点 a 只能是黑色，节点 b 也只能是红色，其他情况均不符合红黑树的定义。这种情况下，我们把节点 b 改为黑色；

• 调整结束，不需要进行二次调整。

 

CASE 2：如果要删除的节点 a 有两个非空子节点，并且它的后继节点就是节点 a 的右子节点 c。我们就依次进行下面的操作：

• 如果节点 a 的后继节点就是右子节点 c，那右子节点 c 肯定没有左子树。我们把节点 a 删除，并且将节点 c 替换到节点 a 的位置。这一部分操作跟普通的二叉查找树的删除操作无异；

• 然后把节点 c 的颜色设置为跟节点 a 相同的颜色；

• 如果节点 c 是黑色，为了不违反红黑树的最后一条定义，我们给节点 c 的右子节点 d 多加一个黑色，这个时候节点 d 就成了“红 - 黑”或者“黑 - 黑”；

• 这个时候，关注节点变成了节点 d，第二步的调整操作就会针对关注节点来做。

 

 

 

CASE 3：如果要删除的是节点 a，它有两个非空子节点，并且节点 a 的后继节点不是右子节点，我们就依次进行下面的操作：

• 找到后继节点 d，并将它删除，删除后继节点 d 的过程参照 CASE 1；

• 将节点 a 替换成后继节点 d；

• 把节点 d 的颜色设置为跟节点 a 相同的颜色；

• 如果节点 d 是黑色，为了不违反红黑树的最后一条定义，我们给节点 d 的右子节点 c 多加一个黑色，这个时候节点 c 就成了“红 - 黑”或者“黑 - 黑”；

• 这个时候，关注节点变成了节点 c，第二步的调整操作就会针对关注节点来做。

 

2. 针对关注节点进行二次调整

经过初步调整之后，关注节点变成了“红 - 黑”或者“黑 - 黑”节点。针对这个关注节点，我们再分四种情况来进行二次调整。二次调整是为了让红黑树中不存在相邻的红色节点。

CASE 1：如果关注节点是 a，它的兄弟节点 c 是红色的，我们就依次进行下面的操作：

• 围绕关注节点 a 的父节点 b 左旋；

• 关注节点 a 的父节点 b 和祖父节点 c 交换颜色；

• 关注节点不变；

• 继续从四种情况中选择适合的规则来调整。

 

 

CASE 2：如果关注节点是 a，它的兄弟节点 c 是黑色的，并且节点 c 的左右子节点 d、e 都是黑色的，我们就依次进行下面的操作：

• 将关注节点 a 的兄弟节点 c 的颜色变成红色；

• 从关注节点 a 中去掉一个黑色，这个时候节点 a 就是单纯的红色或者黑色；

• 给关注节点 a 的父节点 b 添加一个黑色，这个时候节点 b 就变成了“红 - 黑”或者“黑 - 黑”；

• 关注节点从 a 变成其父节点 b；

• 继续从四种情况中选择符合的规则来调整。

CASE 3：如果关注节点是 a，它的兄弟节点 c 是黑色，c 的左子节点 d 是红色，c 的右子节点 e 是黑色，我们就依次进行下面的操作：

• 围绕关注节点 a 的兄弟节点 c 右旋；

• 节点 c 和节点 d 交换颜色；

• 关注节点不变；

• 跳转到 CASE 4，继续调整。

CASE 4：如果关注节点 a 的兄弟节点 c 是黑色的，并且 c 的右子节点是红色的，我们就依次进行下面的操作：

• 围绕关注节点 a 的父节点 b 左旋；

• 将关注节点 a 的兄弟节点 c 的颜色，跟关注节点 a 的父节点 b 设置成相同的颜色；

• 将关注节点 a 的父节点 b 的颜色设置为黑色；

• 从关注节点 a 中去掉一个黑色，节点 a 就变成了单纯的红色或者黑色；

• 将关注节点 a 的叔叔节点 e 设置为黑色；

• 调整结束。

 

 

为什么红黑树的定义中，

要求叶子节点是黑色的空节点？

 

要我说，之所以有这么奇怪的要求，其实就是为了实现起来方便。

只要满足这一条要求，那在任何时刻，红黑树的平衡操作都可以归结为我们刚刚讲的那几种情况。

还是有点不好理解，我通过一个例子来解释一下。

假设红黑树的定义中不包含刚刚提到的那一条“叶子节点必须是黑色的空节点”，我们往一棵红黑树中插入一个数据，新插入节点的父节点也是红色的，两个红色的节点相邻，这个时候，红黑树的定义就被破坏了。那我们应该如何调整呢？

 

你会发现，这个时候，我们前面讲的插入时，三种情况下的平衡调整规则，没有一种是适用的。

但是，如果我们把黑色的空节点都给它加上，变成下面这样，你会发现，它满足 CASE 2 了。

 

 

你可能会说，你可以调整一下平衡调整规则啊。比如把 CASE 2 改为“如果关注节点 a 的叔叔节点 b 是黑色或者不存在，a 是父节点的右子节点，就进行某某操作”。当然可以，但是这样的话规则就没有原来简洁了。

你可能还会说，这样给红黑树添加黑色的空的叶子节点，会不会比较浪费存储空间呢？答案是不会的。虽然我们在讲解或者画图的时候，每个黑色的、空的叶子节点都是独立画出来的。实际上，在具体实现的时候，我们只需要像下面这样，共用一个黑色的、空的叶子节点就行了。

 

 

 

 

内容小结

 

红黑树是一种平衡二叉查找树。

它是为了解决普通二叉查找树在数据更新的过程中，复杂度退化的问题而产生的。

红黑树的高度近似 log2n，所以它是近似平衡，插入、删除、查找操作的时间复杂度都是 O(logn)。

 

因为红黑树是一种性能非常稳定的二叉查找树，所以，在工程中，但凡是用到动态插入、删除、查找数据的场景，都可以用到它。

不过，它实现起来比较复杂，如果自己写代码实现，难度会有些高，这个时候，我们其实更倾向用跳表来替代它。

 

可以的话,可以看看我转载的另一篇文章,看看是否有收获.

 

 

我就来总结一下，如何比较轻松地看懂红黑树的操作过程。

第一点，把红黑树的平衡调整的过程比作魔方复原，不要过于深究这个算法的正确性。

你只需要明白，只要按照固定的操作步骤，保持插入、删除的过程，不破坏平衡树的定义就行了。

 

第二点，找准关注节点，不要搞丢、搞错关注节点。

因为每种操作规则，都是基于关注节点来做的，只有弄对了关注节点，才能对应到正确的操作规则中。

在迭代的调整过程中，关注节点在不停地改变，所以，这个过程一定要注意，不要弄丢了关注节点。

 

第三点，插入操作的平衡调整比较简单，但是删除操作就比较复杂。

针对删除操作，我们有两次调整，第一次是针对要删除的节点做初步调整，让调整后的红黑树继续满足第四条定义，“每个节点到可达叶子节点的路径都包含相同个数的黑色节点”。

但是这个时候，第三条定义就不满足了，有可能会存在两个红色节点相邻的情况。

第二次调整就是解决这个问题，让红黑树不存在相邻的红色节点。

 

 

 

 

 

 

30张图带你彻底理解红黑树

https://zhangboyi.blog.csdn.net/article/details/88418535

 

 

 

 

 

 

 

来源: 数据结构与算法之美    王争