[BZOJ4785][ZJOI2017]树状数组-二维线段树-概率与期望

树状数组

Description

漆黑的晚上，九条可怜躺在床上辗转反侧。难以入眠的她想起了若干年前她的一次悲惨的OI 比赛经历。那是一道基础的树状数组题。

给出一个长度为 n 的数组 A，初始值都为 0，接下来进行 m 次操作，操作有两种：

1 x，表示将 Ax 变成 (Ax + 1) mod 2。
2 l r，表示询问 sigma(Ai) mod 2,L<=i<=r
尽管那个时候的可怜非常的 simple，但是她还是发现这题可以用树状数组做。当时非常young 的她写了如下的算法：

1: function Add(x)
2: while x > 0 do
3: A
x ← (Ax + 1) mod 2
4: x ← x ? lowbit(x)
5: end while
6: end function
7:
8: function Find(x)
9: if x == 0 then
10: return 0
11: end if
12: ans ← 0
13: while x ≤ n do
14: ans ← (ans + Ax) mod 2
15: x ← x + lowbit(x)
16: end while
17: return ans
18: end function
19:
20: function Query(l, r)
21: ansl ← Find(l ? 1)
22: ansr ← Find(r)
23: return (ansr ? ansl + 2) mod 2
24: end function

其中 lowbit(x) 表示数字 x 最?的非 0 二进制位，例如 lowbit(5) = 1, lowbit(12) = 4。进行第一类操作的时候就调用 Add(x)，第二类操作的时候答案就是 Query(l, r)。

如果你对树状数组比较熟悉，不难发现可怜把树状数组写错了： Add和Find 中 x 变化的方向反了。因此这个程序在最终测试时华丽的爆 0 了。

然而奇怪的是，在当时，这个程序通过了出题人给出的大样例——这也是可怜没有进行对拍的原因。现在，可怜想要算一下，这个程序回答对每一个询问的概率是多少，这样她就可以再次的感受到自己是一个多么非的人了。

然而时间已经过去了很多年，即使是可怜也没有办法完全回忆起当时的大样例。
幸运的是，她回忆起了大部分内容，唯一遗忘的是每一次第一类操作的 x的值，因此她假定这次操作的 x 是在 [li, ri] 范围内 等概率随机 的。

具体来说，可怜给出了一个长度为 n 的数组 A，初始为 0，接下来进行了 m 次操作：
1 l r，表示在区间 [l, r] 中等概率选取一个 x 并执行 Add(x)。
2 l r，表示询问执行 Query(l, r) 得到的结果是正确的概率是多少。

Input

第一行输入两个整数 n, m。
接下来 m 行每行描述一个操作，格式如题目中所示。
N<=10^5,m<=10^5,1<=L<=R<=N

Output

对于每组询问，输出一个整数表示答案。如果答案化为最简分数后形如 x/y
，那么你只需要输出 x*y^?1 mod 998244353 后的值。（即输出答案模 998244353）。

Sample Input

5 5
1 3 3
2 3 5
2 4 5
1 1 3
2 2 5

Sample Output

1
0
665496236

在进行完 Add(3) 之后， A 数组变成了 [0, 1, 1, 0, 0]。所以前两次询问可怜的程序答案都是1，因此第一次询问可怜一定正确，第二次询问可怜一定错误。

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第一次写二维线段树……
算是离树套树这个奥妙无穷的领域又近了一步……
以前只会树状数组套主席树的说…..

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思路:
考虑树状数组的原理，很快就能发现这份错误的代码求的是后缀和。
（然而事实上很久以前咱学树状数组的时候就专门试过这个性质）
那么对于一个询问 [l,r] 答案正确的概率便是， al−1==ar 的概率。

然后考虑维护一棵线段树，区间修改，单点查询?
然而很明显这是有问题的。

于是考虑用一个矩形表示所有询问。对于询问 [l,r] ，对应坐标 (l,r) 。
那么考虑每次修改 [l,r] 带来的影响。单次修改操作影响的询问仅有3种:
只有左端点在修改区间内，只有右端点在修改区间内，左右端点都在修改区间内。
显然这三种合法的询问点集均为矩形，矩形修改即可。

最后注意一个细节: find(x) 函数中，当 x==0 ，直接返回 0 。
因此当左端点为 1 时，答案正确的概率变成了前缀和和后缀和相等的概率。
特判一下即可~

#include
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=100009;
const ll md=998244353;

int n,m;

inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || '9'while('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
    return x;
}

inline ll qpow(ll a,ll b=md-2)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ret=ret*a%md;
        a=a*a%md;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

inline ll merge(ll p1,ll p2)
{
    return (p1*p2%md+(1+md-p2)*(1+md-p1)%md)%md;
}

namespace sseg
{
    int ch[N<<8][2],rt[N<<2],tot=1;
    ll val[N<<8];

    inline void add(int &x,int l,int r,int dl,int dr,ll v)
    {
        if(!x)x=++tot,val[x]=1;
        if(dl==l && r==dr){val[x]=merge(val[x],v);return;}
        int mid=l+r>>1;
        if(dr<=mid)
            add(ch[x][0],l,mid,dl,dr,v);
        else if(mid1],mid+1,r,dl,dr,v);
        else
        {
            add(ch[x][0],l,mid,dl,mid,v);
            add(ch[x][1],mid+1,r,mid+1,dr,v);
        }
    }

    inline ll qsum(int x,int l,int r,int p)
    {
        if(!x)return 1;
        if(l==r)return val[x];
        int mid=l+r>>1;
        if(p<=mid)return merge(val[x],qsum(ch[x][0],l,mid,p));
        else return merge(val[x],qsum(ch[x][1],mid+1,r,p));
    }

    inline void modify(int x,int l,int r,int dl,int dr,int nl,int nr,ll v)
    {
        if(dl==l && r==dr){add(rt[x],1,n,nl,nr,v);return;}
        int mid=l+r>>1;
        if(dr<=mid)
            modify(x<<1,l,mid,dl,dr,nl,nr,v);
        else if(mid1|1,mid+1,r,dl,dr,nl,nr,v);
        else
        {
            modify(x<<1,l,mid,dl,mid,nl,nr,v);
            modify(x<<1|1,mid+1,r,mid+1,dr,nl,nr,v);
        }
    }

    inline ll query(int x,int l,int r,int px,int py)
    {
        if(l==r)return qsum(rt[x],1,n,py);int mid=l+r>>1;
        if(px<=mid)return merge(qsum(rt[x],1,n,py),query(x<<1,l,mid,px,py));
        else return merge(qsum(rt[x],1,n,py),query(x<<1|1,mid+1,r,px,py));
    }
}

int main()
{
    int root=1;
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(read()==1)
        {
            int l=read(),r=read();ll inv=qpow(r-l+1);
            if(l-1)
            {
                sseg::modify(root,0,n,1,l-1,l,r,(1+md-inv)%md);
                sseg::modify(root,0,n,0,0,1,l-1,0);
            }
            if(r0,n,l,r,r+1,n,(1+md-inv)%md);
                sseg::modify(root,0,n,0,0,r+1,n,0);
            }
            sseg::modify(root,0,n,l,r,l,r,(1+md-2*inv%md)%md);
            sseg::modify(root,0,n,0,0,l,r,inv);
        }
        else
        {
            int l=read(),r=read();
            printf("%lld\n",sseg::query(1,0,n,l-1,r));
        }
    }

    return 0;
}