2015NOIP模拟赛（一） 试题及解析
小车问题
car.pas
【问题描述】
甲、乙两人同时从A地出发要尽快同时赶到B地。出发时A地有一辆小车，可是这辆小车除了驾驶员外只能带一人。已知甲、乙两人的步行速度一样，且小于车的速度。问：怎样利用小车才能使两人尽快同时到达。
【输入】
仅一行，三个数据分别表示AB两地的距离s，人的步行速度a，车的速度b。
【输出】
两人同时到达B地需要的最短时间。
【样例】
car.in
120 5 25
car.out
9.6000000000E+00
两数之和
pair.pas
【问题描述】
我们知道从n个非负整数中任取两个相加共有n*(n-1)/2个和，现在已知这n*(n-1)/2个和值，要求n个非负整数。
【输入】
输入文件仅有一行，包含n*(n-1)/2+1个空格隔开的非负整数，其中第一个数表示n(2
【输出】
输出文件仅一行，按从小到大的次序依次输出一组满足要求的n个非负整数，相邻两个整数之间用一个空格隔开；若问题无解则输出“Impossible”。
【样例】
pair.in
3 1269 1160 1663
pair.out
383 777 886
血缘关系
family.pas
【问题描述】
我们正在研究妖怪家族的血缘关系。每个妖怪都有相同数量的基因，但是不同的妖怪的基因可能是不同的。我们希望知道任意给定的两个妖怪之间究竟有多少相同的基因。由于基因数量相当庞大，直接检测是行不通的。但是，我们知道妖怪家族的家谱，所以我们可以根据家谱来估算两个妖怪之间相同基因的数量。
妖怪之间的基因继承关系相当简单：如果妖怪C是妖怪A和B的孩子，则C的任意一个基因只能是继承A或B的基因，继承A或B的概率各占50％。所有基因可认为是相互独立的，每个基因的继承关系不受别的基因影响。
现在，我们来定义两个妖怪X和Y的基因相似程度。例如，有一个家族，这个家族中有两个毫无关系(没有相同基因)的妖怪A和B，及它们的孩子C和D。那么C和D相似程度是多少呢？因为C和D的基因都来自A和B，从概率来说，各占50％。所以，依概率计算C和D平均有50％的相同基因，C和D的基因相似程度为50％。需要注意的是，如果A和B之间存在相同基因的话，C和D的基因相似程度就不再是50％了。
你的任务是写一个程序，对于给定的家谱以及成对出现的妖怪，计算它们之间的基因相似程度。
【输入】
第一行两个整数n和k。n（2≤n≤300）表示家族中成员数，它们分别用1, 2, ……, n来表示。k（0≤k≤n-2）表示这个家族中有父母的妖怪数量（其他的妖怪没有父母，它们之间可以认为毫无关系，即没有任何相同基因）。
接下来的k行，每行三个整数a, b, c，表示妖怪a是妖怪b和c的孩子。
然后是一行一个整数m（1≤m≤n），表示需要计算基因相似程度的妖怪对数。
接下来的m行，每行两个整数，表示需要计算基因相似程度的两个妖怪。
你可以认为这里给出的家谱总是合法的。具体来说就是，没有任何的妖怪会成为自己的祖先，并且你也不必担心会存在性别错乱问题。
【输出】
共m行。可k行表示第k对妖怪之间的基因相似程度。你必须按百分比输出，有多少精度就输出多少，但不允许出现多余的0（注意，0.001的情况应输出0.1%，而不是.1%）。具体格式参见样例。
【样例】
family.in
7 4
4 1 2
5 2 3
6 4 5
7 5 6
4
1 2
2 6
7 5
3 3
family.out
0%
50%
81.25%
100%
解析：
1、小车问题
最佳方案为：甲先乘车到达K处后下车步行，小车再回头接已走到C处的乙，在D处相遇后，乙再乘车赶往B，最后甲、乙一起到达B地。这样问题就转换成了求K处的位置，我们用二分法，不断尝试，直到满足同时到达的时间精度。算法框架如下：
（1）输入s，a，b；
（2）c0:＝0；c1:＝s；c:＝(c0+c1)/2；
（3）求t1，t2；
（4）如果t1
否则c:＝(c+c1)/2；
反复执行(3)和(4)，直到abs(t1-t2)满足精度要求（即小于误差标准）。
2、两数之和
本题的规模只有10，看似一道搜索题。其实不然，搜索固然有可能出解，但是本题是有多项式级算法的。本题的难点就在于要理清这看似混乱的n(n-1)/2个“和”的关系，从中寻找突破口。
那么，突破口在哪里呢?n(n-1)/2个“和”是任意给出的，并未按照什么指定的顺序，所以从表面上看这些数（和）之间似乎没有什么区别。当然，我们必须在这些数（和）中制造出一些区别来，因为没有区别我们也就无从下手。对什么信息也没有的一些数，惟一可以制造出的区别就是它们之间的大小关系。根据数的大小关系，我们可以对这n(n-1)/2个数排序。排完序后，可以成为突破口的无非就是那么几个，最小的数（和）、最大的数（和）、中位数??我们不可能随便找一个数出来作为突破口，因为随便找一个数的话，大小关系就失去意义了。所以，这时我们需要注意的只有这么几个数了：最小的数（和）、最大的数（和）和中位数。
中位数看上去似乎也很难成为突破口，因为我们无法预知中位数是哪两个数的和。而最小、最大的两个数(“最小的和”与“最大的和”)则不同，最小的和必然是最小的两个数之和，最大的和必然是最大的两个数之和。由问题对称性，最小与最大其实是等价的，所以我们可以只考虑最小的情况，解决了最小，最大也就相应解决了。
最小的和是最小的两个数之和，这是一条已经确定的与最小的两个数相关的信息。当然，就凭这些信息，我们还是无法知道最小的两个数究竟是多少，这是我们目前面临的一个障碍。我们不妨先跳过这个障碍，考虑以后的问题。我们可以假设已经知道最小的数的大小，这样我们又可以很顺利的知道次小的数是多少了（最小的和-最小的数）。
知道最小的两个数的大小对我们有什么好处呢？其实关键是知道最小的数是多少，这是至关重要的，因为很多特殊的和都与最小的数有关。试想，我们知道了最小的两个数，也就确定了一个和（最小的和）。把这个“和”从n(n-1)/2个和中去掉，剩下的n(n-1)/2-1个和中又会产生新的最小的和。这个新的最小的和是哪两个数的和呢?应该是最小的数与第三小的数的和。由于我们假设已经知道最小的数，我们自然就可以通过作差得到第三小的数了。
得到前三小的数后，我们就确定了3个“和”了。籽这三个“和”从n(n-1)/2个和中去掉，剩下的n(n-1)/2-3个和中又会产生新的最小的和。这个新的最小的和必然是最小的数与第四小的数的和。由于最小的数已知，第四小的数就可以算出了。更一般的情况，知道了前k小的数，那么我们就确定了k(k-1)/2个和了。将这k(k-1)/2个和从n(n-1)/2个和中去掉，剩下的n(n-1)/2-k(k-1)/2个和中又会产生新的最小的和。这个新的最小的和必然是最小的数与第k+1小的数的和；由于最小的数已知，第k+1小的数就可以通过作差得到。
如此，在知道了最小的数的情况下，不断的从当前最小的和入手，就可以从小到大依次把所有的数都推算出来了。
不过，有一点还是需要注意的，前面所有的推导都是建立在最小的数已知的情况下的，但实际情况是最小的数未知。所以，我们还需要创造条件，使最小的数由未知变为已知。
一个简单而可行的方法就是枚举最小的数。简单就不必说了，为什么说枚举是可行的呢?因为题目规定所有的数都不超过100000，因此总共需要枚举的方案数最多只有100000。而在知道最小的数的情况下，推算出其他数的代价是O(n2)，n?10。100000*102的计算代价是可以承受的。最后，我们总结一下前面得到的算法。
（1）枚举最小的数；
（2）根据最小的数和最小的和，得到次小的数；
（3）由前k小的数推出第k+1小的数。
算法的时间复杂度是O(Cn)，其中C表示数值的大小。
从本题的解题过程中，我们看到其中最关键的一步就是以最小的和作为突破口。在解决数学问题的时候，很多情况下从为数不多的信息中寻找突破口是至关重要的。找到了突破口，问题本身也就迎刃而解了。
3.血缘关系
本题是一道概率计算题，但这个概率计算又是建立在Family Tree模型上的。Family Tree是一个有向无环图，有明显的阶段性(辈分关系)，而且没有后效性（没有人可以成为自己的祖先），符合动态规划模型的基本条件。因此，应该可以套用类似动态规划的方法来解决。
我们先来明确一下相似程度的计算方法。假设我们要求的是A和B的相似程度（设为P(A, B)），那么有两种情况是显然的：
（1）A=B:P(A, B)=1；
（2）A与B无相同基因：P(A, B)=0。
这是计算其他复杂情况的基础。因为动态规划就是从一些特定的状态（边界条件）出发，分阶段推出其他状态的值的。
再来看一般的情况，设A0和A1是A的父母。那么，取概率平均情况，A拥有A0和A1的基因各占一半。假设A0与B的相似程度为P(A0, B)，A1与B的相似程度为P(A1, B)，那么P(A, B)与P(A0, B)和P(A1,B)之间应该是一个什么样的关系呢？很容易猜想到：
P(A, B)=(P(A0, B)+P(A1, B))/2
但是，这只是一个猜想。要让它变为一个结论还需要证明：
我们用归纳法来证明。
首先，我们知道，在这个问题中不同基因都是从特定的祖先传下来的，不会出现同一个基因采自不同的祖先的情况(注：这里的祖先是指那些没有父母的妖怪)。所以，如果A与B有相同的基因，这些基因必然来自同一个祖先。这里，我们最想说明的是，祖先那代是不存在两个人，它们之间不同的基因相同的概率不一样，因为它们相同的概率都是0。
现在，A有祖先A0和A1，A0和A1与B的相似程度分别为P(A0, B)和P(A1, B)。从祖先一代开始归纳，可由归纳假设A0与B、A1与B之间每个基因相同的概率都是一样的，分别都是P(A0, B)和P(A1, B)。A的单个基因，它可能是继承A0的，也可能是继承A1的，概率各50%。继承A0的话与B相同的概率是P(A0, B)，继承A1的话与B相同的概率是P(A1, B)。那么这个基因与B相同的概率就是：
(P(A0, B)+P(A1, B))/2
因此，A的每个基因与B相同的概率都是(P(A0, B)+P(A1, B))/2，具有相同的概率。进而，A与B相同基因的数量概率平均也为(P(A0, B)+P(A1, B))/2，A与B的相似程度 P(A, B)=(P(A0, B)+P(A1, B))/2这样就归纳证明了P(A, B)的概率递推公式。
下面总结一下前面得出的结论： (1)边界条件：① A=B:P(A, B)＝1；② A与B无相同基因：P(A, B)=0；
(2)递推关系：
P(A, B)＝(P(A0, B)+P(A1, B))/2，其中A0和A1是A的父母
有了边界条件和递推关系，以及Family Tree的阶段性和无后效性作为前提，用动态规划解决问题的所有条件都已满足。应该说，从理论上来讲，本题已经完全解决。下面需要讨论的仅仅是实现方法而已。动态规划的实现方法有两种：一种是逆向的递推，另一种是正向的记忆化搜索（递归）。这两种方法都是可行的，区别仅仅在于，递推需要更多的考虑状态的阶段性，按照阶段计算出所有状态的值；而记忆化搜索只需要承认状态具有阶段性，无需考虑阶段，只需要按照递推式本身设计带记忆化的递归函数即可。本题给出的仅仅是一棵Family Tree，并没有给出Family Tree的阶段，如果要用递推的话，就必须先给Family Tree分阶段（拓扑排序）。所以，本题显然更适合用记忆化搜索来实现。
另外，需要注意的是，本题所求的答案是有多少精度就输出多少精度。300个节点的图，少说也可以构成几十层的Family Tree，算出的结果至少也有小数点后几十位。所以，高精度是必不可少的（保险起见，可以设置300位的高精度）。
分析一下本题的时间复杂度。动态规划的状态有n2个，转移代价为O(C)（高精度计算的代价）。因此，时间复杂度为为O(Cn)，n≤300。
严格的讲，本题的算法不能算动态规划的方法，因为本题不存在最优化，应该仅仅是一个递推。不过，从分析问题的过程来看，它里面包含了很多动态规划的思想，例如，阶段性和无后效性，特别是使用了动态规划的一种实现方法记忆化搜索。