Java数据结构与算法解析(四)——树的概述

树的基本概念

树具有以下的特点：
(01) 每个节点有零个或多个子节点；
(02) 没有父节点的节点称为根节点；
(03) 每一个非根节点有且只有一个父节点；
(04) 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

树的基本术语

1.结点的度
结点拥有的子树数称为结点的度。度为0的结点称为叶子结点或终端结点，度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

2.叶子：度为零的结点。
3.分支结点：度不为零的结点。
4.树的度：树中结点的最大的度。

5.层次与深度

6.树的高度：树中结点的最大层次。
7.无序树：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。
8.有序树：如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。
9.森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。

树的存储结构

1.简单的顺序存储不能满足树的实现
2.结合顺序存储和链式存储来实现

三种表示方法
•双亲表示法
•孩子表示法
•孩子兄弟表示法

1.双亲表示法

在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置

2.孩子表示法

1.方案一

2.方案二

3.最终方案
把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作为存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空，然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放在一个一维数组中

3.孩子兄弟表示法

任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟

二叉树

例子：猜100以内的整数，注意猜的次数不能超过7个，回答者只回答大了还是小了

1.二叉树的定义
二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。

2.二叉树的性质
性质1：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1) 个结点（i>=1）。
性质2：深度为k的二叉树至多有2^(k)-1个结点（k>=1）。
性质3：对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的 结点 数为n2，则n0 = n2+1.
性质4：包含n个结点的二叉树的高度至少为log₂(n+1)。
性质5：如果对一颗有n个结点的完全二叉树（其深度为[log₂n]+1） 的结点按层序编号（从第1层到第[log₂n]+1层，每层从左到 右），对任意一个结点i(1<=i<=n)有：
1）.如果i=1,则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1,则其双亲是结 点[i/2]
2）.如果2i>n,则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩 子是结点2i。
3）.如果2i+1>n,则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。

性质1：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1) 个结点（i>=1）。
证明：下面用”数学归纳法”进行证明。
(1) 当i=1时，第i层的节点数目为2^{i-1}=2^{0}=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
(2) 假设当i>1，第i层的节点数目为2^{i-1}。这个是根据(1)推断出来的！
下面根据这个假设，推断出”第(i+1)层的节点数目为2^{i}“即可。
由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故”第(i+1)层上的结点数目” 最多是 “第i层的结点数目的2倍”。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2^{i-1}=2^{i}。
故假设成立，原命题得证！

性质2：深度为k的二叉树至多有2^(k)-1个结点（k>=1）。
证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用”性质1”可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
2⁰+2¹+…+2^k-1=2^k-1
故原命题得证！

性质3：对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的 结点 数为n2，则n0 = n2+1.
证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)=”0度结点数(n0)” + “1度结点数(n1)” + “2度结点数(n2)”。由此，得到等式一。
(等式一) n=n0+n1+n2
另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n1+2n2。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
(等式二) n=n1+2n2+1
由(等式一)和(等式二)计算得到：n0=n2+1。原命题得证！

性质4：包含n个结点的二叉树的高度至少为log₂(n+1)。
证明：根据”性质2”可知，高度为k的二叉树最多有2^k-1个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log₂(n+1)。

特殊二叉树

所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树

线性表结构其实可以理解为树的一种树表达形式

满二叉树

完全二叉树

定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

二叉查找树

定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。

在二叉查找树中：
(1) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
(2) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
(3) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
(4) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。