数字传输系统的最佳接收与误码性分析

1、概论

• 研究目标：
    在数字通信系统中，信源是信息的来源，但是信源输出的是消息，以消息的形式来表达所要传送的消息。信源编码将消息转换成二进制数字信号序列。此信息序列要经过通信信道将信号波形从发端传到收端，在收端进行反变换，从而将信息从信源送到信宿。
  

图1.1 数字系统通用模型   基带信道适合于传送脉冲波形，所以将数字基带信号通过基带信道传输的系统称为数字基带传输系统。在数字基带传输系统中，确定信号在受到加性高斯白噪声干扰下的最佳接收为采用匹配滤波器，使得在最佳采样时刻的信噪比最大，然后再选择合适的判决门限进行判决，可以使得误比特率最小。在实际数字通信系统中的信道往往是有限的，因此发送器和接收器需要选择，本文采用基于无码间干扰基带传输的升余弦滤波器。

• 研究方法：
    建立数字传输系统，通过理论计算分析与matlab工具模拟，对比误码率得出结论。
• 主要内容：
    信道带宽无限时的单极性基带传输、信道带宽受限时的双极性基带传输、信道带宽受限时QPSK传输、信道带宽受限时16QAM传输

2、系统模型与误码分析

2.1 信道带宽无限时的单极性基带传输

信道带宽无限，发送滤波器波形可以选择矩形波；信号波形选择为单极性不归零码。

图2.1.1 发送滤波器冲激响应

图2.1.2 信号时域波形

$$s_i(t)=\{\begin{array}{ll}A,& i=1\\ 0,& i=2\end{array}$$

匹配滤波器的冲激响应与发送滤波器相同，接收模型为：

图2.1.3 接收模型

$r_i(t)=s_i(t)+n_w(t)$
假设发射的是$s_1(t) $，则匹配滤波器的冲击响应为$h(t)=s_1(T_b-t)$与$s_1(t)$相匹配

$$r_1(t)=s_1(t)+n_w(t)\text{\hspace{1em}(2.1.1)}$$
通过匹配滤波器之后
$$y_1(t)={\int }_0^{t}r(\tau )\cdot h(t-\tau )\mathrm{d}\tau ={\int }_0^t{s}_1^2(\tau )\mathrm{d}\tau +{\int }_0^t{n}_w(\tau )\cdot s_1(\tau )\mathrm{d}\tau \text{\hspace{1em}(2.1.2)}$$
在$T_b$时刻的采样值为
$$y_1(T_b)={\int }_0^{T_b}{s}_1^2(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{T_b}{n}_w(t)\cdot s_1(t)\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(2.1.3)}$$
画出概率密度函数图
$y_1(t)$均值为$E_b$,方差为$\frac{N_0{E}_1}{2}$
$y_2(t)$均值为0，方差为$\frac{N_0{E}_1}{2}$

图2.1.4 采样值的概率密度函数以及判决门限

判决门限$V_T$为$\frac{E_1}{2}$，系统的平均误码率为$$E_b=\frac{E_1}{2}\text{\hspace{1em}(2.1.4)}$$$$p_e=Q(\frac{E_b}{\sqrt{\frac{N_0{E}_1}{2}}})=Q(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}})\text{\hspace{1em}(2.1.5)}$$

2.2信道带宽受限时的双极性基带传输

信道带宽受限时，发送滤波器应为基于无码间干扰基带传输的升余弦滤波器。双极性序列：$$a_i=\{\begin{array}{ll}A,& i=1\\ -A,& i=2\end{array}$$

图2.2.1 升余弦滤波器的脉冲响应

图2.2.1 升余弦滤波器的频率

该滤波器的带宽为$B=\frac{1+\alpha }{2}{r}_s$
其信号接收模型和信道带宽无限时的单极性基带传输的相同

图2.2.2 接收模型

该系统的传输与上一种系统的类似，不过发送滤波器发生了改变
$r(t)=s_i(t)+n_w(t)$，通过匹配滤波器之后:
$y_1(t)$均值为$E_b$,方差为$\frac{N_0{E}_b}{2}$
$y_2(t)$均值为$-E_b$，方差为$\frac{N_0{E}_b}{2}$
此时的判决门限变为$V_T=0$,平均误码率为$$E_b=E_1\text{\hspace{1em}(2.2.1)}$$$$p_e=Q(\frac{E_b}{\sqrt{\frac{N_0{E}_1}{2}}})=Q(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}})\text{\hspace{1em}(2.2.2)}$$

2.3信道带宽受限时QPSK传输

信道带宽受限，发送滤波器仍然选择升余弦滤波器
QPSK称作四进制移相键控，该信号的正弦波有4个可能的离散相位状态，每个载波相位携带两个二进制符号，其信号表达式为$$s_i(t)=Acos(w_{c}t+{\theta }_i)i=1,2,3,4$$

图中显示了两种离散相位的选择
进一步将$s_i(t)$写为$s_i(t)=\frac{A}{\sqrt{2}}[I(t)cos{w}_{c}t-Q(t)sin{w}_{c}t]$,其中$I(t)=\pm 1,Q(t)=\pm 1$
他的发送模型为(相位选择$\frac{\pi }{4}$)

图2.3.1 发送模型 QPSK信号可以看为同相及正交支路2PSK的叠加，所以在解调时可对两路信号分别进行2PSK解调，然后进行串并变换，得到输出数据。系统的接收仍然采用匹配滤波器

图2.3.2 接收模型

对于QPSK而言，在QPSK与2PSK的输入二进制信息速率相同，二者的发送功率相同，加性噪声的单边功率谱密度$N_0$相同的情况下，QPSK与2PSK的平均误比特率是相同的$$E_b=E_1\text{\hspace{1em}(2.3.1)}$$$$p_e=Q(\frac{E_b}{\sqrt{\frac{N_0{E}_1}{2}}})=Q(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}})\text{\hspace{1em}(2.3.2)}$$

2.4信道带宽受限时16QAM传输

带宽受限，发送滤波器仍然使用升余弦滤波器
16QAM是由两个正交载波的多电平振幅键控信号叠加而成的，它与MPSK的不同之处在于两个之路的多电平幅度序列是独立的
16QAM信号表示为$$s_{QAM}(t)=a_{i_c}{g}_T(t)cos{w}_c(t)+a_{i_s}{g}_T(t)sin{w}_c(t)i=1,2,3......16\text{\hspace{1em}(2.4.1)}$$
其中{$a_{i_s}$}、{$a_{i_c}$}是一组离散电平的集合，$g_T(t)$基带成形滤波器的冲激响应。

图2.4.1 16QAM信号的空间图

图2.4.2 16QAM信号发射模型

接收端仍然采用匹配滤波器：

图2.4.3 16QAM信号接收模型

分析误码率时，可将两路4进制ASK分开计算。$P_4$表示4进制ASK支路的误码$$P_4=\frac{3}{4}[2Q(\sqrt{\frac{d_{min}^2}{2N_0}})]\text{\hspace{1em}(2.4.2)}$$率。那么，16QAM的正确判决符号的概率为$$P_c=(1-P_4{)}^2\text{\hspace{1em}(2.4.3)}$$从而推出$$P_e=1-P_c=2P_4-P_4^2\text{\hspace{1em}(2.4.4)}$$

3.仿真模型过程以及结果

3.1信道带宽无限时的单极性基带传输

源代码：

clear all
%------------------
%系统参数设置
%-----------------
T_start=0;%开始时间
T_stop=0.1;%截止时间
T=T_stop-T_start;%仿真持续时间
T_sample=1/1000;%采样间隔
f_sample=1/T_sample; % 采样速率
N_sample=T/T_sample;% 采样点数
n=0:N_sample-1;
r_s=100;%比特速率
alpha=0.25;%df=alpha*rs=25Hz
NumBits=T*r_s;%比特数
NumCoff=10;%number of coefficients of RRC
SamplingIns=NumCoff/2;
SamplingStart=NumCoff;
%-------------------------------
%发送波形
%-------------------------------
g_T=[ones(1,f_sample/r_s),0];
b1=(sign(rand(1,NumBits)-0.5)+1)/2;%原始序列
b2=zeros(f_sample/r_s,NumBits);
b2(1,:)=b1;
b3=reshape(b2,1,f_sample/r_s*NumBits);
s=conv(b3,g_T);%transmitted signal
%--------------------------------
%AWGN channel
%--------------------------------
N_0=10^(-8);
noise_w=wgn(1,length(s),N_0*f_sample,'linear');%产生白噪声
r=s+noise_w;
figure(1);
plot(r);
%--------------------------------
%receiver
%--------------------------------
g_R=g_T;
y1=conv(r,g_R);
figure;
myeyediagram=eyediagram(y1(1:length(y1)),f_sample/r_s);
figure(2)
plot(y1)
hold on
sample1=zeros(f_sample/r_s,NumBits);
sample1(1,:)=ones(1,NumBits);
sample2=reshape(sample1,1,f_sample/r_s*NumBits);
sample3=zeros(1,length(y1));
sample3(NumCoff+1:NumCoff+f_sample/r_s*NumBits)=sample2;
stem(sample3,'.');
y2=y1.*sample3;
stem(y2,'.')
y2(:,all(y2==0,1))=[];
b_t=b1;
b_r=(sign(y2-5)+1)*0.5;%滤波器的功率为N0=10，判决点位为N0/2=5
BER=length(find(b_t~= b_r))/NumBits;%求误码率

当高斯白噪声功率很小($n_0=10^{-8}$)时，误码率也很小，模拟出来的误码率为0

图3.1.1 低噪声发送信号波形

图3.1.2 低噪声接收信号波形以及采样

图3.1.2 低噪声眼图

图3.1.4 低噪声误码率

将高斯白噪声的功率调大($n_0=10^{-3}$)以后，误码率变大：

图3.1.5 高噪声发送信号波形

图3.1.6 高噪声接收信号波形以及采样

图3.1.7 高噪声眼图

图3.1.8 高噪声误码率

图3.1.9 误码率曲线

3.2信道带宽受限时的双极性基带传输

源代码：

clear all
%------------------
%系统参数设置
%-----------------
T_start=0;%开始时间
T_stop=1;%截止时间
T=T_stop-T_start;%仿真持续时间
T_sample=1/1000;%采样间隔
f_sample=1/T_sample; % 采样速率
N_sample=T/T_sample;% 采样点数
n=0:N_sample-1;
r_s=100;%比特速率
alpha=0.25;%df=alpha*rs=25Hz
NumBits=T*r_s;%比特数
NumCoff=80;%number of coefficients of RRC
SamplingIns=NumCoff/2;
SamplingStart=NumCoff;
%-------------------------------
%发送波形
%-------------------------------
% g_T=10*firrcos(NumCoff,r_s/2,alpha*r_s,f_sample);%发送滤波器
g_T=rcosdesign(alpha,8,10,'sqrt');
b1=sign(rand(1,NumBits)-0.5);%原始序列
b2=zeros(f_sample/r_s,NumBits);
b2(1,:)=b1;
b3=reshape(b2,1,f_sample/r_s*NumBits);
s=conv(b3,g_T);%transmitted signal
%--------------------------------
%AWGN channel
%--------------------------------
N_0=10^(-3);
noise_w=wgn(1,length(s),N_0*f_sample,'linear');%产生白噪声
r=s+noise_w;
figure(1);
plot(r);
%--------------------------------
%receiver
%--------------------------------
g_R=g_T;
y1=conv(r,g_R);
figure;
myeyediagram=eyediagram(y1(1:length(y1)),f_sample/r_s);
figure(2)
plot(y1)
hold on
sample1=zeros(f_sample/r_s,NumBits);
sample1(1,:)=ones(1,NumBits);
sample2=reshape(sample1,1,f_sample/r_s*NumBits);
sample3=zeros(1,length(y1));
sample3(NumCoff+1:NumCoff+f_sample/r_s*NumBits)=sample2;
%stem(sample3,'.');
y2=y1.*sample3;
stem(y2,'.');
y2(:,all(y2==0,1))=[];
b_t=b1;
b_r=sign(y2);%判决门限为0
BER=length(find(b_t~= b_r))/NumBits;

发送滤波器为

g_T=10*firrcos(NumCoff,r_s/2,alpha*r_s,f_sample);%发送滤波器

图3.2.1 alpha=0.25的根升余弦滤波器冲激响应

当高斯白噪声功率很小时($n_0=10^{-8}$)，误码率也很小，模拟出来的误码率为0

图3.2.2 低噪声发送信号波形

图3.2.3 低噪声接收信号波形以及采样

图3.2.4 低噪声眼图

图3.2.5低噪声误码率

将高斯白噪声的功率调大($n_0=10^{-8}$)以后，误码率变大：

图3.2.6 高噪声发送信号波形

图3.2.7 高噪声接收信号波形以及采样

图3.2.8 高噪声眼图

图3.2.9 高噪声误码率

图3.2.10 误码率曲线

3.3信道带宽受限时QPSK传输

源代码：

%信道带宽受限时的QPSK传输
clc;clear;
%%%%%%%%%%%%%%%%参数设置%%%%%%%%%%%%%%%%
fc = 5000000;
fs = 25000000;
N = 2000;
Tb = 1/5000000;
SNR=5;
%%%%%%%%%%%%%%%%发射机%%%%%%%%%%%%%%%%
data = round(rand(1,N));
%转为极性码
data_NRZ = 2*data-1;
%分为IQ两路
I = zeros(1,N);
Q = zeros(1,N);
I(1:2:N-1) = data_NRZ(1:2:N-1);
I(2:2:N) = data_NRZ(1:2:N-1);
Q(1:2:N-1) = data_NRZ(2:2:N);
Q(2:2:N) = data_NRZ(2:2:N);
%插0
zero = fs*Tb;
for i = 1:zero*N
if rem(i,zero)==1
I0(i) = I((i-1)/zero+1);
Q0(i) = Q((i-1)/zero+1);
else
I0(i) = 0;
Q0(i) = 0;
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%带宽无限AWGN信道%%%%%%%%%%%%%%%%
%平方根升余弦滤波器
NT=10; %滤波器阶数
rf=0.25; %滚降系数
B=(1+rf)/2.*(1/2.*Tb);%带宽
psf = rcosfir(rf,NT,zero,1/fs,'sqrt');
Ipulse = conv(I0,psf);
Qpulse = conv(Q0,psf);
%调制
num = NT*zero*2;
t = 0:1/fs:(N*zero+num)/fs-1/fs;
for i = 1:zero*N+num
Imod(i) = Ipulse(i)*sqrt(2)*cos(2*pi*fc*t(i));
Qmod(i) = Qpulse(i)*sqrt(2)*sin(2*pi*fc*t(i));
end
QPSK = Imod - Qmod;
%添加噪声
QPSK_in = awgn(QPSK,SNR,'measured');
%%%%%%%%%%%%%%%%接收机%%%%%%%%%%%%%%%%
%接收滤波器
[B,A] = butter(4,[0.08,0.8],'bandpass');
QPSK_in2=filter(B,A,QPSK_in);
%接收端,解调
for i = 1:zero*N+num
Idem(i)=QPSK_in2(i)*sqrt(2)*cos(2*pi*fc*t(i));
Qdem(i)=-QPSK_in2(i)*sqrt(2)*sin(2*pi*fc*t(i));
end
%低通滤波器
[B,A] = butter(4,0.95,'low');
Idem=filter(B,A,Idem);
Qdem=filter(B,A,Qdem);
%匹配滤波
mtf = rcosfir(rf,NT,zero,fs,'sqrt');
Idem2 = conv(Idem,mtf);
Qdem2 = conv(Qdem,mtf);
%数据选择
for i = 1:zero*N
Isel(i) = Idem2(i+num);
Qsel(i) = Qdem2(i+num);
end
%提取码元
for i = 1:N
I_sam(i) = Isel((i-1)*zero+1);
Q_sam(i) = Qsel((i-1)*zero+1);
end
%判决
threshold = 0.0;
for i = 1:N
if I_sam(i)>=threshold
I_final(i) = 1;
else
I_final(i) = -1;
end
if Q_sam(i)>=threshold
Q_final(i) = 1;
else
Q_final(i) = -1;
end
end
%并串变换
data_final(1:2:N-1) = I_final(1:2:N-1);
data_final(2:2:N) = Q_final(1:2:N-1);
N_0=1./(B.*SNR);
%理论计算的误码率
Pb=0.5*erfc(sqrt(1./abs(N_0)));
Pb=Pb(:,1);
%仿真误码率
ber=length(find(data_final~=data_NRZ))/N;

仿真结果：

图3.3.1 Q支路的发送波形

图3.3.2 I支路的发送波形

图3.3.3 序列还原情况（部分）

图3.3.4 误码率结果

图3.3.5 误码率曲线

3.4信道带宽受限时16QAM传输

源代码（参考于网络）：

M=16;
k=log2(M);
n=100000;                          %比特序列长度
samp=1;                            %过采样率
x=randint(n,1);                    %生成随机二进制比特流
stem(x(1:50),'filled');            %画出相应的二进制比特流信号
title('二进制随机比特流');
xlabel('比特序列');ylabel('信号幅度');
x4=reshape(x,k,length(x)/k);       
xsym=bi2de(x4.','left-msb');       %将矩阵转化为相应的16进制信号序列
figure;
stem(xsym(1:50));                  %画出相应的16进制信号序列
title('16进制随机信号');
xlabel('信号序列');ylabel('信号幅度');
y=modulate(modem.qammod(M),xsym);  %16QAM调制器
scatterplot(y);                    %画出16QAM信号的星座图
text(real(y)+0.1,imag(y),dec2bin(xsym));
axis([-5 5 -5 5]);
EbNo=15;
snr=EbNo+10*log10(k)-10*log10(samp); %信噪比
yn=awgn(y,snr,'measured');         %加入高斯白噪声
h=scatterplot(yn,samp,0,'b.');     %经过信道后接收到的含白噪声的信号星座图
hold on;
scatterplot(y,1,0,'k+',h);         %加入不含白噪声的信号星座图
title('接收信号星座图');
legend('含噪声接收信号','不含噪声信号');
axis([-5 5 -5 5]);
hold on;
eyediagram(yn,2);                  %眼图
yd=demodulate(modem.qamdemod(M),yn); %此时解调出来的是16进制信号
z=de2bi(yd,'left-msb');            %转化为对应的二进制比特流
z=reshape(z.',numel(z),1');

仿真结果：

图3.4.1 发送序列

根据16QAM信号的星座图将二进制转换成十六进制：

图3.4.2 16QAM信号的星座图

图3.4.3 二进制每四个一组转化为相应的16进制信号序列

加入噪声：

图3.4.4 经过信道后接收到的含白噪声的信号星座图

接收到的信号经过解调、转换后：

图3.4.5 经过信道后接收到的含白噪声的信号星座图

图3.4.5 眼图

图3.4.6 误码率曲线

4.总结

  信号的传输效率取决于信源编码、信道和判决方式，信道都是非理想的，经过信道后会对信号；产生不同程度上的干扰，从而引发失真。信源编码和信号采样判决方式可以一定程度上弥补这方面的误差，
  本次实验结果显示，误码率最理想的是BPSK和QPSK,双极性码>单极性码。当在带宽有限的信道中传输时，需要选用根生余弦发送滤波器和接收滤波器来减少码间干扰达到最佳接收。若在理想无限带宽信道，我们可以选用方波来传送信号。对基带信道，一般用的较少，且其传送速率低于带通信道。