树上最近公共祖先LCA
首先介绍一下朴素的O(N)算法
比如我们在树上要找x,y两个节点的LCA，首先我们将两个节点移动到同一深度位置（将深度深的结点向上移动，直到两个节点的深度相同），而后两个节点共同向上移动，直到移动到同一个节点，这个节点就是LCA
具体看代码：
int find_root(int u,int v){
int depth_u=buf[u].depth;
int depth_v=buf[v].depth;
if(depth_u对于小数据，这个算法已经够用，但如果数据更大，那么就需要寻找更快的算法。
比如P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）
n取到了500000，由于询问占用0(N)的时间，这就要求我们求LCA的复杂度应优化到log(N)。由此，我们引入倍增法LCA。
那么，我们观察朴素算法，可以发现时间主要花在两个地方：
- 将两个点移动到深度相同的位置
- 两个点一起向上移动找LCA
在朴素算法里，我们是一步一步向上移动的，那么，有没有办法把步子跨得大一下呢？
这里我们用二进制的方法想一想，举个例子，如果我们想向上移动11步，11的二进制是（1011B），那么我们是不是可以第一次先向上移动8（1000B）步，第二次移动2（10B）步，第三次移动1（1B）步呢。这样，我们就把原来需要移动11步优化到了3步。
有了上述思想，我们就可以在预处理阶段处理一个数组jump，令jump[x][i]表示节点x向上跳2^i步到达的位置
还以上述11步为例，假如树的最大深度是1000，那么2^10=1024就可以表示所有深度的结点
我们跳11步，相当于跳00000001011步，这样我们从跳2^10开始尝试：
for(int i=10;i>=0;i--){
if(depth[jump[a][i]]>=depth[b]){
a=jump[a][i];
}
}由二进制可以看出，显然i=10~4时都不跳（如果跳，则跳的总步数一定大于11），只在i=3,1,0时跳
这样，深度1000的树，最坏情况跳1000步，我们用10次循环就可以完美解决。
有了第一个问题解决的思想，我们同样可以用这个思路解决第二个问题。不同的是，我们这次的目标是优化跳到LCA下面一层的结点，即只有两个节点跳到不是同一个位置时才跳。这一点读者可以结合二进制和代码自己理解一下。
int lca(int a,int b){
if(depth[b]>depth[a])swap(a,b);
for(int i=20;i>=0;i--){//移动到同一深度位置
if(depth[jump[a][i]]>=depth[b]){
a=jump[a][i];
}
}
if(a==b)return a;
for(int i=20;i>=0;i--){//共同向上移动查找LCA
if(jump[a][i]!=jump[b][i]){
a=jump[a][i];
b=jump[b][i];
}
}
return jump[a][0];//跳到的是LCA的下方结点
}那么，现在的问题就到了怎么预处理jump这个数组上了，这里就用到了倍增的思想。
倍增思想的核心公式是2^i=2^(i-1)+2^(i-1) eg.2^10=2^9+2^9 (1024=512+512)
那么，X向上跳2^i步，是不是可以理解为X向上跳2^(i-1)步后再跳2^(i-1)步呢。是不是也可以理解为X向上跳2^(i-1)步的这个节点再跳2^(i-1)步呢。
由此我们就得到了更新公式 jump[x][i+1]=jump[jump[x][i]][i]; 这样更新为什么对呢，首先我们知道当更新 jump[x][i+1]时jump[x][i]已经计算过，并且我们是从根节点向下逐层节点初始化，因此jump[x][i]这个节点的jump[jump[x][i]]都已被更新过，所以每一步中jump[jump[x][i]][i]都是已经计算过的值。这样，我们就可以逐层更新，得到所有结点的jump
void preprocessing(int x,int fa){
depth[x]=depth[fa]+1;
jump[x][0]=fa;//向上跳一步是x的父亲节点
for(int i=0;i<20;i++){//更新x结点的jump数组
jump[x][i+1]=jump[jump[x][i]][i];
}
vector::iterator it;
for(it=buf[x].begin();it!=buf[x].end();it++){//扩展更新x的子节点
if(*it==fa)continue;
preprocessing(*it,x);
}
}
以下是本题的AC代码
这道题对数据卡的非常严格，除了算法本身，输入输出时间，存数的数据结构也同样需要注意效率。
本代码使用cin输入会TLE
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m,s;
vector buf[500005];
int depth[500005];
int jump[500005][25];
void preprocessing(int x,int fa){
depth[x]=depth[fa]+1;
jump[x][0]=fa;
for(int i=0;i<20;i++){
jump[x][i+1]=jump[jump[x][i]][i];
}
vector::iterator it;
for(it=buf[x].begin();it!=buf[x].end();it++){
if(*it==fa)continue;
preprocessing(*it,x);
}
}
int lca(int a,int b){
if(depth[b]>depth[a])swap(a,b);
for(int i=20;i>=0;i--){
if(depth[jump[a][i]]>=depth[b]){
a=jump[a][i];
}
}
if(a==b)return a;
for(int i=20;i>=0;i--){
if(jump[a][i]!=jump[b][i]){
a=jump[a][i];
b=jump[b][i];
}
}
return jump[a][0];
}
int main(){
cin>>n>>m>>s;
int x,y;
for(int i=0;i