nowcoderP4781 【模板】拉格朗日插值

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题解

拉格朗日插值其实就是给定多项式上的$n$个点，让你确定一个$n-1$次多项式

我们知道当给定的点的横坐标两两不同的时候范德蒙德矩阵的行列式是不等于$0$的

所以所求的多项式肯定存在且唯一（系数向量有唯一解）

通过构造的方式求出一个合法的多项式：

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\prod _{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

我们只需要证明一件事情：$f(x_i)=y_i$

带入$x=x_i$，发现确实是这样，那说明这个多项式就是所要求的多项式

这个多项式是怎么构造的呢？

考虑${\prod }_{i\ne j}(x-x_j)$，这个东西的作用就是只有带入$x=x_i$的时候值才不是$0$

但是带入$x_i$的时候我不仅要让它不等于$0$，我还想让它等于$y_i$，那咋整呢？

很简单，直接除以${\prod }_{i\ne j}(x_i-x_j)$，再乘以$y_i$就行了

ひらめき：
有些题的答案是个$x$的多项式，也许就可以通过这种方式求出多项式

代码

#include 
#include 
#include 
#define iinf 0x3f3f3f3f
#define linf (1ll<<60)
#define eps 1e-8
#define maxn 1000010
#define maxe 1000010
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define rep(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define em(x) emplace(x)
#define emb(x) emplace_back(x)
#define emf(x) emplace_front(x)
#define fi first
#define se second
#define de(x) cerr<<#x<<" = "<
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
ll read(ll x=0)
{
    ll c, f(1);
    for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-0x30;
    return f*x;
}
#define mod 998244353ll
struct EasyMath
{
    ll prime[maxn], phi[maxn], mu[maxn];
    bool mark[maxn];
    ll fastpow(ll a, ll b, ll c)
    {
        ll t(a%c), ans(1ll);
        for(;b;b>>=1,t=t*t%c)if(b&1)ans=ans*t%c;
        return ans;
    }
    void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
    {
        if(!b){x=1,y=0;return;}
        ll xx, yy;
        exgcd(b,a%b,xx,yy);
        x=yy, y=xx-a/b*yy;
    }
    ll inv(ll x, ll p)  //p是素数
    {return fastpow(x%p,p-2,p);}
    ll inv2(ll a, ll p)
    {
        ll x, y;
        exgcd(a,p,x,y);
        return (x+p)%p;
    }
    void shai(ll N)
    {
        ll i, j;
        for(i=2;i<=N;i++)mark[i]=false;
        *prime=0;
        phi[1]=mu[1]=1;
        for(i=2;i<=N;i++)
        {
            if(!mark[i])prime[++*prime]=i, mu[i]=-1, phi[i]=i-1;
            for(j=1;j<=*prime and i*prime[j]<=N;j++)
            {
                mark[i*prime[j]]=true;
                if(i%prime[j]==0)
                {
                    phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                    break;
                }
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
    ll CRT(vector<ll> a, vector<ll> m) //要求模数两两互质
    {
        ll M=1, ans=0, n=a.size(), i;
        for(i=0;i<n;i++)M*=m[i];
        for(i=0;i<n;i++)(ans+=a[i]*(M/m[i])%M*inv2(M/m[i],m[i]))%=M;
        return ans;
    }
}em;
ll x[maxn], y[maxn];
int main()
{
    ll n, i, j, k, ans=0;
    n=read(), k=read();
    rep(i,1,n)x[i]=read(), y[i]=read();
    rep(i,1,n)
    {
        ll t=1;
        rep(j,1,n)if(i!=j)(t*=(x[i]-x[j]))%=mod;
        t=em.inv(t,mod)*y[i]%mod;
        rep(j,1,n)if(i!=j)(t*=k-x[j])%=mod;
        (ans+=t)%=mod;
    }
    printf("%lld",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}