利用积分区域的对称性计算重积分

根据积分区域的对称情况 和 被积函数的奇偶性的配合可以得到不同的结论。

其中三重积分的轮换对称性，无需和被积函数的奇偶性配合 。

二重积分：

对于重积分

一、积分区域关于坐标轴对称：

a. 积分区域关于y轴对称， 

, 是右半平面的区域。

 

证明（方法1）：设  , 分别表左右半平面区域;

相应地，   

                         

则                  

从而  

证明:（方法2）

  ,

而

                                     ，                                     

                                  ，对x积分时，y被看成了常量，因此 被看成常量，

于是，

                                   

 

b. 积分区域关于x轴对称时，有类似的结论。关于y的奇函数时积分为零；关于y的偶函数时，积分等于半区域积分的2倍 。 

c.三重积分情形：

配合被积函数的奇偶性：（三重积分的物理含义：不均匀的空间物体的质量）

（1）积分区域关于 （z=0）对称，即是z有对称取值区间：

       若，即被积函数是关于z的 奇函数，则积分为零 

（2）积分区域关于 （z=0）对称，即是z有对称取值区间：

       若，即被积函数是关于z的 偶函数，

           积分是半平面积分的2倍

 事实上按照

先1后2的做作法，定积分有对称的取值区间，而这时被积函数是关于z的奇函数，故积分为零；

当时偶函数的时候，定积分是半区域的2倍，而二重积分的积分区域  不会变，被积函数也不会变。

因此这是三重积分是半空间区域内积分的2倍 。 

 

二、积分区域关于坐标原点对称：

若 ,则 

若，则

 因此 

TIP：可以根据二重积分的集合意义直观分析得出；若是关于x，y 的奇函数的时候，在对称区域上的微小体的体积总是互为相反数。因此总和为零。 有一个正的体积就有一个负的体积。

三重积分情形：没有相关规律。

 

三、（二重）积分区域D关于y=x对称 （轮换对称性 ）

（a）积分变量x，y 互换，不改变积分的值。

这是因为，当互换变量时，点还是在原来的积分区域内，积分区域没有发生变化。积分值不变：可以用元素法来分析，若在D1取一小块体积，则交换积分变量，可以在对称的区域上取得一块同样的体积，因此，总的体积没有发生变化。

因此，积分制不会发生改变 。

（b）配合奇偶性有：

若  则，积分是零，即是；

（即是，如果积分区域关于y=x对称（x和y有相同的地位），且在对称点处的函数值大小相等符号相反则积分为零）

这是因为吧积分区域以 y=x 划分成两块区域，

由于交换函数自变量 的位置后，被积函数大小相等符号相反，而积分区域的大小是一样的。(根据定义。)

若  ,则在关于  的积分区域 ，在其中一个区域上有一个正的体积，在另外一个区域上也有一个正体积 ；同理有负体积也有附体积，总之积分是  上的积分的2倍 。 

若  则，积分是零，即是；

三重积分下的轮换对称性,

若积分区域  对称，x，y互换变量积分值不变； 

 

,由于x和y 的等价性，结合二重积分的对称性可知，积分不会发生变化，即是

                      

若积分区域  对称，y，z互换变量积分值不变； 

若积分区域  对称，x，z互换变量积分值不变；

事实上，按先二后一的做法，由于二重积分不会发生改变，因此，三重积分不会发生改变。

若，x,y,z 三个变量在积分区域上是等价的，即是互换位置的时候，积分不会发生变化

                                       ，如：

      任意改变积分变量的位置，积分不会发生变化。