南昌网络赛E Interesting Series(生成函数&分治&FFT)

南昌网络赛E Interesting Series(生成函数&分治&FFT)

题目大意

定义$F_i$为
$$\begin{gathered} F_1=1 \\ {F}_n=a\ast F_{n-1}+1 \end{gathered}$$
定义一个集合s的value为$value(s)=F_{sum(s)}$

对于一个集合S，现询问一个k，有$ans(k)={\sum }_{sissubsetsofS,|s|=k}value(s)$

解题思路

显然对于F有通项$F_i=\frac{a^n-1}{a-1}$由此只需要求出对于给定的k的不同集合的$a^{sum}$的和，再减去$C_n^k$乘上$\frac{1}{a-1}$即可。

对于$a^{sum}$之和，可以通过生成函数
$$(x+a^{S_1})(x+a^{S_2})...(x+a^{S_n})$$
中$x^{n-k}$的系数得到
（这里我的系数是反着写的，所以最后是ans[k]）
处理这个式子需要对式子分治地进行FFT，大致可以写作$solve(l,r)=solve(l,mid)\ast solve(mid+1,r)$

由此可以进行类似线段树一样从下向上的合并操作，其复杂度是合并的层数$log(n)$乘上每层进行FFT的总复杂度$nlog(当前层合并的多项式的次数)$

AC代码

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long long ll;
const double pi=acos(-1);
typedef complex<double> cp;
int n,a,q;
const int mod=100003;
const int size=1e5+5;
vector<int> co[size<<2];
cp x[size],y[size];
int b[size],s[size];
int quick_pow(int a,int b){int ans=1;while(b){if(b&1) ans=1LL*a*ans%mod;a=1LL*a*a%mod;b>>=1;} return ans;}
int fac[size];
int invfac[size];
void init()
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod;
	invfac[n]=quick_pow(fac[n],mod-2);
	for(int i=n-1;i>=0;i--) invfac[i]=1LL*invfac[i+1]*(i+1)%mod;
}
namespace Polynomial_multiplication{
	int n, m, rev[size << 2];
	cp a[size << 2], b[size << 2];
	void init(int len) {
		for (n = 1, m = 0; n <= len; n <<= 1, m++);
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			rev[i] = rev[i >> 1] >> 1 | (i & 1) << (m - 1);
			a[i] = cp(0, 0);
			b[i] = cp(0, 0);
		}
	}
	void builda(vector<int> x,int len){for(int i=0;i<=len;i++) a[i]=cp(x[i],0);}
	void builda(int x[],int len){for(int i=0;i<=len;i++) a[i]=cp(x[i],0);}
	void buildb(vector<int> x,int len){for(int i=0;i<=len;i++) b[i]=cp(x[i],0);}
	void buildb(int x[],int len){for(int i=0;i<=len;i++) b[i]=cp(x[i],0);}
	void fft(cp *a, int f) {
		for (int i = 0; i < n; ++i)if (i < rev[i])swap(a[i], a[rev[i]]);
		for (int i = 1; i < n; i <<= 1) {
			double alpha = pi / i;
			if (f == -1)alpha = -pi / i;
			for (int k = 0; k < i; ++k) {
				cp w = cp(cos(alpha*k), sin(alpha*k));
				for (int j = k; j < n; j += (i << 1)) {
					cp x = w * a[j + i];
					a[j + i] = a[j] - x;
					a[j] += x;
				}
			}
		}
		if(f==-1) for(int i=0;i<n;i++) a[i]/=n;
	}
	void calc(vector<int> &v,int len) {
		fft(a, 1); fft(b, 1);
		for (int i = 0; i < n; ++i)a[i] *= b[i];
		fft(a, -1);
		for(int i=0;i<=len;i++) v.push_back(LL(a[i].real()+0.5)%mod);
	}
} 
void solve(int id,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		co[id].push_back(1);
		co[id].push_back(b[l]);
		return ;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	solve(id<<1,l,mid);
	solve(id<<1|1,mid+1,r);
	Polynomial_multiplication::init(r-l+1);
	Polynomial_multiplication::builda(co[id<<1],mid-l+1);
	Polynomial_multiplication::buildb(co[id<<1|1],r-mid);
	Polynomial_multiplication::calc(co[id],r-l+1);
}

int ans[size];
inline LL combi(int k,int n){return k>n?0:1LL*fac[n]*invfac[k]%mod*invfac[n-k]%mod;}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&a,&q);
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&s[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=quick_pow(a,s[i]%(mod-1));
	solve(1,1,n);
	int inva_1=quick_pow(a-1,mod-2);
	for(int i=1;i<=n;i++) ans[i]=(co[1][i]-combi(i,n)+mod)%mod*inva_1%mod;
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		int k;
		scanf("%d",&k);
		printf("%d\n",ans[k]);
	}
	return 0;
}