【运筹学】线性规划问题的解 ( 可行解 | 可行域 | 最优解 | 秩的概念 | 极大线性无关组 | 向量秩 | 矩阵秩 | 基 | 基变量 | 非基变量 | 基解 | 基可行解 | 可行基 )

I . 线性规划问题解

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下面是一个 线性规划 数学模型 的 标准形式 :

• 1. 决策变量个数 : 线性规划数学模型中 有 $n$ 个 决策变量 ;
• 2. 约束方程个数 : 该模型中有 $m$ 个约束方程 ;

$$\begin{array}{lcl}maxZ={\sum }_{j=1}^n{c}_j{x}_j& & ①目标函数\\ & & \\ s.t\{\begin{array}{llc}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i(i=1,2,\cdots ,m)& & ②约束方程\\ & & \\ x_j\ge 0,j=1,2,\cdots ,n& & ③变量约束\end{array}& & \end{array}$$

线性规划的解 : 满足约束条件 ② 和 ③ 有很多解 , 这些解中肯定有一个或多个解 , 使 ① 目标函数 有最大值 ;

II . 可行解 与 可行域

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可行解 : 满足 约束方程 , 变量约束 的解是可行解 ;

可行域 : 所有的可行解集合 是可行域 ;

III . 最优解

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首先 这个解必须是可行解 , 在可行解的基础上 , 使目标函数达到最大值的解 是 最优解 ;

IV . 秩 的 概念

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1. 向量 概念 :

• ① 数学 概念 : 空间中的箭头 , 二维 或 三维 , 由方向 和 长度 两种属性 ;
• ② 计算机 概念 : 有序的数字列表 , 这里使用的就是这种概念 , $n$ 维向量有 $n$ 个数字组成 ;

2. 向量组 : 由多个向量组成的结构 , 下面的 ${\alpha }_1$ 就是一个 $n$ 维向量 , 该向量由 $n$ 个数字组成 ( $n>0$ ) ; 多个这种向量组成向量组 ;

3. 极大线性无关组 : 向量组 $T$ 中 , 如果有 一部分组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_3$ 满足下面两个条件 :

• ① 部分组线性无关 : ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_3$ 是线性无关的 ;
• ② 部分组线性表示 : $T$ 中的每个向量都可以由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_3$ 此部分组 中的一个或多个 线性表示 ; ( 如 向量组 $\beta =2{\alpha }_1+{\alpha }_2$ )

${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_3$ 称为向量 $T$ 的极大无关组 ;

4. 向量的秩 : 一个向量组的极大线性无关组所包含的向量个数 , 是向量组的秩 ;

• ① 如果向量组中的向量都是 $0$ 向量 , 那么其秩为 $0$ ;
• ② 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 的秩记为 $rank\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_3\}$

5. 矩阵的秩 :

• ① 方阵的秩 : 方阵是 行数 和 列数 相等的矩阵 , 其 列秩 和 行秩 是相等的 , 其 行数 = 列数 = 秩 ;
• ② 矩阵的秩 : $m\times n$ 矩阵的秩 最大取值 是 $m$ 和 $n$ 中较小的那个值 , 即 $min(m,n)$ ;
• ③ 满秩 : 如果矩阵的秩 等于 $min(m,n)$ , 那么该矩阵被称为 有满秩 , 是满秩矩阵 ;
• ④ 欠秩 : 反之 如果矩阵的秩 小于 $min(m,n)$ , 那么该矩阵 称为 秩不足 ( 欠秩 ) ;

V . 基 的概念

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系数矩阵 : 约束方程的 系数 可以组成一个 $m\times n$ 阶 矩阵 , 即 $m$ 行 , $n$ 列 , 代表 有 $m$ 个约束方程 , 每个约束方程有 $n$ 个变量 ;

基 :

• ① 矩阵秩 : 设 $A$ 为上述 $m\times n$ 阶系数矩阵 $(m<n)$ , 其秩 为 $m$ ; ( 该矩阵的秩的最大取值是 $min(m,n)$ )
• ② 满秩矩阵 : 矩阵 $B$ 是矩阵 $A$ 的 $m$ 阶满秩子矩阵 , 其中 $|B|\ne 0$ ,
  $$B=\left[\begin{array}{cccc}& a_{11}& \cdots & a_{1m}\\ & & & \\ & ⋮& ⋮& ⋮\\ & & & \\ & a_{m1}& \cdots & a_{mm}\end{array}\right]=(p_1\cdots p_m)$$
• ③ 基引入 : 则称 $B$ 是线性规划问题的 一个基 ;

矩阵的阶数 : $m$ 行 $n$ 列 矩阵称为 $m\times n$ 阶矩阵 ; $m$ 行 $m$ 列方阵 , 称为 $m$ 阶矩阵 ;

$m$ 阶满秩子矩阵 :

• ① $m$ 阶 : 是指矩阵是 $m\times m$ 阶矩阵 , 其实一个 $m$ 行 $m$ 列的方阵 ;
• ② 满秩 : 该矩阵的最大秩是 $min(m,m)$ , 其秩为 $m$ 时 , 是满秩矩阵 ;
• ③ 子矩阵 : 该矩阵 $B$ ( $m\times$ m 阶矩阵 ) 是 矩阵 $A$ ( $m\times$ n 阶矩阵 ) 的子矩阵 ;

VI . 基变量 与 非基变量

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基向量 : 设有以下系数矩阵 :

$$B=\left[\begin{array}{cccc}& a_{11}& \cdots & a_{1m}\\ & & & \\ & ⋮& ⋮& ⋮\\ & & & \\ & a_{m1}& \cdots & a_{mm}\end{array}\right]=(p_1\cdots p_m)$$

称 矩阵 $B$ 中的每个列向量 $P_j(j=1,2,\cdots ,m)$ 为基向量 ;

基变量 : 与 基向量 $P_j$ 对应的变量 $x_j$ 称为基变量 ;

非基变量 : 基变量之外的其它变量 , 称为 非基变量 ;

VII . 基解

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基解 :

• ① 确定基 : 确定一个基 $B$ , 该矩阵是系数矩阵 $A$ 的满秩子矩阵 , 即一个 $m\times m$ 阶矩阵 ;
• ② 处理非基变量 : 将非基变量 设置成 $0$ ;
• ③ 解出基解 : 将 基 代入约束方程 , 解出对应的变量值 , 即基解 ;
• ④ 基解个数 : 基解中变量取值 非 $0$ 个数 , 小于等于 约束方程个数 $m$ , 基解的总数 不超过 $C_n^m$

排列组合 说明 :
$n>m$ , 从 $n$ 个变量中取 $m$ 个 , 这是集合的组合问题 , 从 $n$ 元集 中取 $m$ 个元素的个数 , 即 $$C(n,m)=C_n^m=\frac{P(n,m)}{m!}=\frac{n!}{(n-m)!m!}$$ , 如果要求顺序 , 就是排列问题 $$P(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!}$$ ;

$m$ 阶满秩子矩阵 : 基是满秩子矩阵

• ① $m$ 阶 : 是指矩阵是 $m\times m$ 阶矩阵 , 其实一个 $m$ 行 $m$ 列的方阵 ;
• ② 满秩 : 该矩阵的最大秩是 $min(m,m)$ , 其秩为 $m$ 时 , 是满秩矩阵 ;
• ③ 子矩阵 : 该矩阵 $B$ ( $m\times$ m 阶矩阵 ) 是 矩阵 $A$ ( $m\times$ n 阶矩阵 ) 的子矩阵 ;

VIII . 基可行解 与 可行基

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基可行解 : 解出的基解 , 有一部分满足 变量的 非负 约束 , 即解大于等于 $0$ , 这些解称为基可行解 ;

有些解小于 $0$ 的 , 显然不满足大于等于 $0$ 的条件 , 这些基解不是可行解 , 没有用处 ;

可行基 : 基可行解 对应的基 , 称为 可行基 ;

下面的文氏图 描述的是 非可行解 , 基解 , 可行解的 集合关系 ;
总体分为 可行解 与 非可行解 , 基解中一部分是可行解 , 一部分是非可行解

IX . 示例 求基矩阵

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求下列线性规划问题的 基矩阵 :

$$\begin{array}{l}maxZ=4x_1-2x_2-x_3\\ \\ \{\begin{array}{l}5x_1+x_2-x_3+x_4=3\\ \\ -10x_1+6x_2+2x_3+x_5=2\\ \\ x_j\ge 0,j=1,\cdots ,5\end{array}\end{array}$$

解 :

该约束方程 , 共有 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ , 五个变量 ;

将约束方程补全变量为 :
$$\{\begin{array}{l}5x_1+x_2-x_3+x_4+0x_5=3\\ \\ -10x_1+6x_2+2x_3+0x_4+x_5=2\end{array}$$

其系数矩阵为 :
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}5& 1& -1& 1& 0\\ & & & & \\ -10& 6& 2& 0& 1\end{array}\right]$$

该系数矩阵的秩为 $min(2,5)=2$ , 矩阵的基为 2阶满秩子矩阵 ;
每一列都是一个 向量 , 共有 5 个向量 , 选择其中 2 个 , 该问题是 从 5 元集 中选取 2 个的 组合问题 ;
其基的组合方式有 $C(5,2)$ 种 :
$$C(5,2)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times 4\times 3\times 2}{2\times 3\times 2}=10$$

2阶子矩阵有 $10$ 种 选取方式 ; 基的要求还需要 满秩 , 2阶的满秩子矩阵 才是基 , 满秩 即 其列向量 线性无关 , 两列 向量 不能使用线性表示 ;

① 子矩阵 1 : ( 不是基矩阵 )
$$B_1=\left[\begin{array}{cc}5& -1\\ -10& 2\end{array}\right]$$
注意 该矩阵 第一列 与 第二列 存在线性关系 , 第一列向量 乘以 $-5$ 即可得到第二列向量 ;
$$B_{11}=\left[\begin{array}{c}5\\ -10\end{array}\right]B_{12}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$$
$$B_{12}=-5\times B_{11}$$

该矩阵的秩为 $1$ , 不是满秩的 , 满秩秩为 $min(2,2)=2$ , 因此该矩阵不是基矩阵 ;

② 子矩阵 $2\cdots 9$ : 其它矩阵 列向量 之间没有线性关系 , 都是满秩的 , 且都为 $2$ 阶满秩子矩阵
$$B_2=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ -10& 6\end{array}\right]$$
$$B_3=\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ -10& 1\end{array}\right]$$
$$B_4=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ -10& 0\end{array}\right]$$
$$B_5=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 6& 2\end{array}\right]$$
$$B_6=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 6& 0\end{array}\right]$$
$$B_7=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right]$$
$$B_8=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 0\end{array}\right]$$
$$B_9=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 2& 1\end{array}\right]$$
$$B_{10}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

该矩阵 $B_2\cdots B_{10}$ 是系数矩阵的 2阶满秩子矩阵 ;