【运筹学】第4讲 线性代数基础

笔记来源： b站 王树尧SJTU

本节主要对线性代数整体的研究思路（矩阵、行列式的引出）进行梳理，基础计算方法等请自行复习线性代数；

一、研究线性代数目的

1、目的：解线性方程（未知数次数为1的方程）

2、n元方程组的推广过程

3、n元方程组研究步骤

• 有没有解？
• 怎么解？
• 解是什么？

二、关于方程的经典想法（几何）

三、方法论

对于一个多元一次方程组，解方程的核心就是对各未知数的系数与解进行处理，显而易见，只有系数与解才是有效的系统信息。

【矩阵】与【矩阵乘法】的引入

1、矩阵乘法 满足 （数表×数表）、（数×数）
2、矩阵乘法

（1）（m×n）×（n×m）= （m×m）
（2） 矩阵乘法的法则
（3） 矩阵乘法不满足交换律

四、怎么看待矩阵

设矩阵A （n×m）型；【秩】R（A）= a；

1、秩是矩阵的本质属性

秩为矩阵A中不多余的（独立的）向量个数
向量：选择行方向（列方向）的一行（列）系数组成的向量
不多余的（独立的）：不能被其余向量线性表示的向量

2、一个矩阵的秩是唯一的

（n×m）的矩阵A 它的秩 R(A)<=min{n，m}

3、引入运筹学中【基】的概念

（1）如果一个矩阵A的秩为n（即R（A）= n），则至少能在这个矩阵中找到一个n×n的行列式，使它的值不为0（最多能找多少个不一定）
（2）满足（1）中的行列式回归成矩阵则为原矩阵的“基”

4、矩阵的逆

五、行列式

1、行列式

（1）必须是方的（n×n）
（2）行列式是一个运算法则，是一个“数”

2、几何意义

以二阶为例：

二阶行列式（平行四边形的面积）
三阶行列式（平行六面体的体积）
n阶行列式 （n维超立方体的体积）

3、行列式回归成矩阵

行列式＝0 ; 对应矩阵的秩＜矩阵的阶数（存在多余的向量）
行列式 ≠ 0 ; 对应矩阵为满秩矩阵（矩阵秩＝它的阶数）