离散数学 06.05 同构及同态

§6.5同构及同态 

6.5.1同态映射 

定义6.5.1.设G是一个群，K是一个乘法系统，G到K的一个映射σ说是一个同态映射，如果σ(ab)=σ(a)σ(b)。 
定理6.5.1.设G是一个群，σ是G到K中的一个同态映射，则G的映像G ′ =σ(G)的一个群，G的单位元1的映像σ(1)就是G ′ 的单位元1 ′ ，而a的逆a −1 的映像σ(a −1 )就是a的映像σ(a)的逆σ(a) −1 :σ(a −1 )=σ(a) −1 。 
证明：因为G非空，显然G ′ 非空，要证G ′ 做成群，首先要证G ′ 中任意两个元素可以相乘，即设a ′ ∈G ′ ,b ′ ∈G ′ ,要证a ′ b ′ ∈G ′ 。事实上，a ′ =σ(a),b ′ =σ(b),按σ(ab)=σ(a)σ(b)=a ′ b ′ ,故a ′ b ′ 是G的元素ab的映像，因而a ′ b ′ ∈G ′ 。再证G ′ 中有结合律成立：设a ′ ,b ′ ,c ′ ∈G,则a ′ (b ′ c ′ )=(a ′ b ′ )c ′ 。事实上，a ′ =σ(a),b ′ =σ(b),c ′ =σ(c),又因为群G中有结合律成立，所以a(bc)=(ab)c。于是σ(a(bc))=σ((ab)c)。按σ的同态性，推出σ(a)σ(bc)=σ(ab)σ(c),σ(a)(σ(b)σ(c))=(σ(a)σ(b))σ(c)，a ′ (b ′ c ′ )=(a ′ b ′ )c ′ 。证G ′ 有左壹而且就是σ(1),即对于任意的a ′ ∈G ′ ,有σ(1)a ′ =a ′ 。事实上，a ′ =σ(a),按σ的同态性σ(1)a ′ =σ(1)σ(a)=σ(1a)=σ(a)=a ′ 。再证G ′ 中的任意元素a ′ 有左逆而且就是σ(a −1 )。事实上，a ′ =σ(a),由σ的同态性σ(a −1 )a ′ =σ(a −1 )σ(a)=σ(a −1 a)=σ(1)。因此，G ′ 做成一个群，G ′ 的壹1 ′ =σ(1),G ′ 中a ′ 的逆是σ(a −1 )。G和G ′ 说是同态，记为G∼G ′ 。 

例6.5.1.设(G,∗),(K,+)是两个群，令σ:x→e,∀x∈G,其中e是K的单位元。则σ是G到K内的映射，且对a,b∈G,有σ(a∗b)=e=σ(a)+σ(b)。即，σ(G)到K的同态映射，G∼σ(G)。σ(G)={e}是K的一个子群。这个同态映射是任意两个群之间都有的。 

例6.5.2.设(Z,+)为整数加法群，(C ∗ ,⋅)是所有非零复数在数的乘法下做成的群，令σ:n→i n ,∀n∈Z,其中i是C的虚数单位。则σ是Z到C ∗ 内的一个映射，且对m,n∈Z,有σ(m+n)=i m+n =i m ⋅i n =σ(m)⋅σ(n)。即，σ是Z到C ∗ 的同态映射，Z∼σ(Z)。σ(Z)={1,−1,i,−i}是C ∗ 的一个子群。 

6.5.2同构映射 

定义6.5.2.设G是一个群，K是一个乘法系统，σ和G到K内的一个同态映射，如果σ是G到σ(G)上的1−1映射，则称σ是同构映射。称G与σ(G)同构，记为G≅G ′ 。 
同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差别。如果G只和G ′ 同态，则由于G中两个或多个元素可能变成G ′ 的一个元素，所以不能说是G和G ′ 构造一样，但因为G中的乘法关系在G ′ 中仍对应地成立，所以，可以说G ′ 是G的一个缩影，对G的缩影的研究，当然是对G进行研究的重要内容或重要方法。 

例6.5.3.设(R + ,⋅)是一切正实数在数的乘法下做成的群，(R,+)是实数加法群。令σ:x→logx,∀x∈R + ,则σ是R + 到R上的1−1映射，且对a,b∈R + ，σ(a⋅b)=log(a⋅b)=loga+logb=σ(a)+σ(b)。故σ是R + 到R上的同构映射。logx是以e为底的x的对数，若取σ(x)=log 2 x,或取σ(x)=log 10 x,则得到R + 到R上的不同的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。此例中(R + ,⋅)≅(R,+),如果将R + 换成R ∗ ，即换成非零实数集，那么(R ∗ ,⋅)与(R,+)能否同构？ 

例6.5.4.(R ∗ ,⋅)与(R,+)不可能同构。 
证明：用反证法。假设(R ∗ ,⋅)与(R,+)同构，可设映射σ为R ∗ 到R上的一个同构映射，于是必有σ:1→0,−1→a,a≠0。从而，σ(1)=σ((−1)⋅(−1))=σ(−1)+σ(−1)=a+a=2a。则有2a=0,a=0,与a≠0矛盾。故，原假设不成立，(R ∗ ,⋅)与(R,+)不可能同构。 

例6.5.5.无限循环群同构于整数加法群。 
证明：设G=(g)是无限循环群，Z为整数加法群，则对∀a∈G,∃n∈Z,使得a=g n ,则令f:a→n。不难验证f是G到Z上的同构映射。因此，G≅Z。 

定义6.5.3.设G是一个群，若σ是G到G上的同构映射，则称σ为自同构映射。 
自同构映射的最简单的例子就是恒等映射，称为恒等自同构映射。在恒等自同构映射下，群中每个元素都保持不变。 
例6.5.6.设(Z,+)是整数加法群，令σ:n→−n,∀n∈Z,则σ是Z的一个自同构映射。 
例6.5.7.设G是一个Abel群，将G的每个元素都映射到其逆元素的映射σ:a→a −1 ,a∈G,是G的一个自同构映射。 
例6.5.7包含例6.5.6为特例。如果G包含元数不等于1或2，那么该自同构映射不是恒等自同构映射。 

6.5.3同态核 

定义6.5.4.设σ是G到G ′ 上的一个同态映射，命N为G中所有变成G ′ 中1 ′ 的元素g的集合，记为σ −1 (1 ′ ),即N=σ −1 (1 ′ )={g∈G|σ(g)=1 ′ }，把N叫做σ的核。 

定理6.5.2.设σ是G到G ′ 上的一个同态映射，于是σ的核N是G的一个正规子群，对于G ′ 的任意元素a ′ ，σ −1 (a ′ )={x|x∈G,σ(x)=a ′ }是N在G中的一个陪集，因此，G ′ 的元素和N在G中的陪集一一对应。 
证明：先证N是G的子群。1)证N非空。因为σ(1)=1 ′ ,所以1∈N(N是核)。2)若a∈N,b∈N,要证ab −1 ∈N。事实上，由σ(a)=1 ′ ,σ(b)=1 ′ ,可得σ(ab −1 )=σ(a)σ(b −1 )=σ(a)(σ(b)) −1 =1 ′ (1 ′ ) −1 =1 ′ ,故ab −1 ∈N。再证N是正规子群，即证对于任意的g∈G,gNg −1 ⊆N。事实上，σ(gNg −1 )=σ(g)σ(N)σ(g −1 )=σ(g)1 ′ σ(g) −1 =σ(g)σ(g) −1 =1 ′ 。故gNg −1 ⊆N。最后证明：若a ′ ∈G ′ 而σ(a)=a ′ ，则σ −1 (a ′ )是N在G中的一个陪集，即为Na。事实上，对任意的b∈G,b∈σ −1 (a ′ )必要而且只要σ(b)=a ′ ,必要而且只要σ(b)(a ′ ) −1 =1 ′ ,必要而且只要σ(b)(σ(a)) −1 =σ(ba −1 )∈1 ′ ,必要而且只要ba −1 ∈N,必要而且只要b∈Na。 
以上所述说明了：若σ是G到G ′ 上的同态映射，则其核N为一个正规子群。反过来，我们要问：设N是G的一个正规子群，是否由一个群G ′ 以及一个G到G ′ 上的同态映射σ，使N为σ的核? 
引理1：设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。 
证明：因为N是正规子群，故Nb=bN,今设A=aN,B=bN,AB=aNbN=abNN=abN,所以AB是一个陪集。 

定理6.5.3.按照陪集的乘法，N的所有陪集做成一个群G ¯ ¯ ¯  。命σ:a→aN，则σ是G到G ¯ ¯ ¯  上的一个同态映射，其核为N。 
证明：由引理1，G ¯ ¯ ¯  中乘法封闭，映射σ使σ(a)σ(b)=aNbN=abN=σ(ab),故σ是G到G ¯ ¯ ¯  上的一个同态映射，按定理6.5.1，G ¯ ¯ ¯  是一个群，G ¯ ¯ ¯  的壹显然就是N本身(作为G ¯ ¯ ¯  中的一个元素)，所以σ的核应该含G中在σ之下变成G ¯ ¯ ¯  中壹N的那些元素：核σ={g∈G|σ(g)=N∈G ¯ ¯ ¯  }={g∈G|gN=N}={g∈G|g∈N}=N(作为G的一个子集，一个正规子群)。G ¯ ¯ ¯  叫做G对于N的商群，记为G/N。若G是有限群，则商群中元素个数等于N在G中的指数，即等于陪集的个数。 

例6.5.8.设G是整数加法群，N=5G={⋯,−10,−5,0,5,10,⋯},则N是Z的正规子群。Z中N的所有陪集为：0 ¯ ,1 ¯ ,2 ¯ ,3 ¯ ,4 ¯ ,其中：0 ¯ ={⋯,−10,−5,0,5,10,⋯}=N=0+N,1 ¯ ={⋯,−9,−4,1,6,11,⋯}=1+N,⋮4 ¯ ={⋯,−6,−1,4,9,14,⋯}=4+N。用⊕表示陪集间的加法，则1 ¯ ⊕4 ¯ =(1+N)⊕(4+N)=(1+4)+N=N=0 ¯ 。若令G ¯ ¯ ¯  ={0 ¯ ,1 ¯ ,2 ¯ ,3 ¯ ,4 ¯ },则G∼G ¯ ¯ ¯  ,G ¯ ¯ ¯  在陪集加法下是一个群。 

定理6.5.4.设σ是G到G ′ 上的一个同态映射，若σ的核为N，则G ′ ≅GN 。 
证明：首先，由定理6.5.2知G ′ 的元素核G/N的元素一一对应，设在这个一一对应之下，G ′ 的元素a ′ 和b ′ 分别对应G/N的元素aN和bN：a ′ ↔aN,b ′ ↔bN。于是a ′ =σ(a),b ′ =σ(b),而且a ′ b ′ =σ(ab),可见G ′ 的元素a ′ b ′ 所对应的G/N的元素是abN=aNbN:a ′ b ′ ↔aNbN。所以G ′ 和G/N同构。 

例6.5.9.设G是整数加法群，σ:x→x( mod 5),x∈G,则G ′ =σ(G)={0,1,2,3,4}是模5的加法群，