Dijkstra应用之次短路

        我们都知道Dijkstra算法是求解单源最短路的算法。那么现在我们问题不在是最短路了，而是次短路(第二短的路径)。我们现在还能使用DIjkstra算法吗？当然了，你看到这篇博客的名字就知道了。其实一开始我也没想到用Dijkstra来求解次短路问题，在看《挑战程序设计竞赛》的时候看到这种解法，感觉特别神奇，于是来和大家分享分享。

        那么我们现在先回忆下Dijkstra是怎么求解最短路问题的。Dijkstra的思想是根据确定最短路的顶点来计算尚未确定顶点的最短路，这句话是什么意思呢？比如在一幅无向图中，s为源点，v1为已经确定最短路的顶点，v2，v3为尚未确定的顶点。那么我们使用v1的最短距离加上v1->v2或v3的距离，来更新v2，v3到源点s的距离。显然这么一直更新下去，那么最终s到v2，v3的距离就是最短距离（详情请参考：Here）。

        如果dist[v]表示s->v的最短距离，dist2[v]表示s->v的次短距离，d为s->v的第k短距离(k>1)。那么一定满足这样一个关系，dist[v] < dist2[v] <= k。看到这个等式的时候我们可以发现，如果dist2[v] > d2 > dist[v]，显然这时候我们需要将dist2[v]更新为d2。那么我们只要找到不满足dist[v] < dist2[v] <= k这个的式子的dist2[v]，那么我们就更新他。一直更新到所以式子都满足这个式子，那么dist2[v]就为源点s->v的次短路。到此我们已经推出了求解次短路的方法。

        老规矩，来到水题练练手，POJ 3255 Roadblocks。解题代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
#define MAXN (5000 + 10)
#define INF (5000*5000*2)
using namespace std;

struct edge{
    int to, cost;
    edge(int tv = 0, int tc = 0):
        to(tv), cost(tc){}
};
typedef pair P;
int N, R;
vector graph[MAXN];
int dist[MAXN];     //最短距离
int dist2[MAXN];    //次短距离

void solve(){
    fill(dist, dist+N, INF);
    fill(dist2, dist2+N, INF);
    //从小到大的优先队列
    //使用pair而不用edge结构体
    //是因为这样我们不需要重载运算符
    //pair是以first为主关键字进行排序
    priority_queue, greater
 > Q;
    //初始化源点信息
    dist[0] = 0;
    Q.push(P(0, 0));
    //同时求解最短路和次短路
    while(!Q.empty()){
        P p = Q.top(); Q.pop();
        //first为s->to的距离，second为edge结构体的to
        int v = p.second, d = p.first;
        //当取出的值不是当前最短距离或次短距离，就舍弃他
        if(dist2[v] < d) continue;
        for(unsigned i = 0; i < graph[v].size(); i++){
            edge &e = graph[v][i];
            int d2 = d + e.cost;
            if(dist[e.to] > d2){
                swap(dist[e.to], d2);
                Q.push(P(dist[e.to], e.to));
            }
            if(dist2[e.to] > d2 && dist[v] < d2){
                dist2[e.to] = d2;
                Q.push(P(dist2[e.to], e.to));
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dist2[N-1]);
}

int main(){
    int A, B, D;
    scanf("%d%d", &N, &R);
    for(int i = 0; i < R; i++){
        scanf("%d%d%d", &A, &B, &D);
        graph[A-1].push_back(edge(B-1, D));
        graph[B-1].push_back(edge(A-1, D));
    }
    solve();
    return 0;
}