Solution to CLRS Chapter 3

3.1-1

3.1-2

由于上面的式子，单点递减，极限为1是最小值，最大值是n＝1的情况取得，故而常数c1,c2的值确定，复杂度为

3.1-3

O(n^2)的意思是：该算法的worst－case running time 是 n^2的，这个符号是用来刻画算法运行最差的那些情况下的性能。而”the running time of algorithm A is at least”刻画的是该算法最优情况下的性能，两者刻画的角度截然不同，所以这句话meaningless。

3.1-4

后者不成立，一个是2^n,而另一个是4^n,增长比前者快

3.1-5

从图像出发，这个定理是显而易见的……证明的话，只要利用3个符号的定义，构造常数c1,c2就可以了

3.1-6

直接由Theorem 3.1可得

3.1-7

这题主要想要表达的意思，是2个“小”符号的严格小于性

3.1-8

简单的仿写题，这题的背景，可能是图论算法中，时间复杂度可能和两个变量有关系时的符号表达。

这一章数学符号，题目比较简单，而且用公式编辑器写起来比较复杂，略过。

Problems

3-1 Asymptotic behaviour of polynomials

这题和exercise 3.1-2组合在一起，就能够得出一个可以用来简化计算复杂度的手段，就是多项式形式的复杂度，可以只看最高次

此题的证明就是对exercise 3.1-2那个解法的扩展，同样是利用单调性和极限来计算最大最小值

3-2 Relative asymptotic growths

几个asymptotic的比较，无穷大的比较，高数记得不多了，不过洛必达法则很强大！

3-3 Ordering by asymptotic growth rate

3-4 Asymptotic notation properties

(a)

(b)

(c)

(d)同上，由此可以得出规律，只要是两边同时作用了递增的法则，那么big-oho notation 就可以“吸收”那个作用法则

(e)对于大于1的正整数而言，其平方必然比本身大，而f(n)是一个正整数值的函数，故而该式成立

(f)对同一个不等式的不同解释而已，只要把参数除过去即可

(g)

(h)这个性质表现了“大吃小”的法则

3-5 Variations On O and big-omega

(a)

这里引入了一个新的记号 Omega infinity（样子怪怪的），说是只要满足有无穷多的n,f(n) >= cg(n)即可，这里注意到它和原来的oemga-notation的差别在于：

omega-notation是对一个特定的n0之后“所有的”n，都保证了这个不等式成立

omega-infinity则是只要有“无限个”n满足不等式就可以了，也就是说，可以有时候大，有时候小。

这里如果引入omega-infinity notation，那么两个函数f(n), g(n), f(n)<=c*g(n)，如果找不到一个n0,使得等式成立，那么就意味着，在现在选取的n0,之后，一定存在着一个使得等式不成立的点，将n0移到那个点，还是能够找到下个一个不满足等式的点，如此以至无穷，说明，两个式子，要么符号big-oho notation 要么符合omega-infinity notation。

但是omega-notation却并不和big-oho notation构成这样的关系。

(b)

在我看来，omega-notation在刻画best-case running time的时候，虽说是严格的，但不一定是逼近的！而omega-infinity 则是逼近的，因为，总是有无穷过的点比它大，又有无穷多的点比它小。

(c)

我看不出这个对算法分析有什么用。。。f(n)作为算法步骤的执行时间，应该天生非负才对吧。。

(d)

仿写题，比较简单。

3-6 Iterated functions