【算法理论】拟阵的理解

CLRS在讲贪心算法的时候，提到了贪心算法的理论基础是一种叫做拟阵的结构，凡是符合该结构的模型均可采用贪心算法。当然，它也提到该理论并不能完全覆盖贪心所能使用的全部范围 -- 例如活动选择和huffman编码就不能应用该理论。这个只是CLRS上讲的，具体为什么不能使用，需要思考一下。

活动选择问题不是拟阵。集合A是独立的当且仅当集合中所有的活动室相互兼容的，则A必然具有遗传性。

但是这种独立性的集合却不具有交换性质，例如|A|=2，|B|=3，具体如下：

A: |_____|    |___________|

B:          |_____|  |___|  |______|

则这种情况下，B-A任何一个元素{X}UA都不是独立的 --  不是所有元素都兼容。

拟阵由线性代数矩阵中的向量无关性扩展而来，一个向量组X={X1，X2，..., Xk}。众说周知，X或向量无关或向量相关，而且一个向量组是线性无关的，则它的任意子组也是向量无关的。另外，如果向量组X线性无关，同时向量组Y也线性无关，且有|X|<|Y|，则必存在Yi属于Y，使得X并上Yi所得的新向量组线性无关。

通过对线性无关的扩张，可得拟阵的定义：M(S, I)

1、S是非空的集合

2、I是S的独立子集的集合，且如果A属于I，则它的所有子集属于I -- 这里独立是线性无关的扩展，具体看I的定义

3、交换性质 -- A属于I，B属于I，且|A|<|B|，必存在x属于B-A(注意这里说的是存在，而不是每个x属于B-A)，使得A并x属于I

这里的独立性跟I的定义有关系，比如S定义为无向图边的集合E，I定义为所有组成非环路的边的集合的集合（有点绕，体会下）。这里的独立性就是不构成环路 -- 说I的一个元素是独立的，判断依据就是其各个边不存在环路。这里的拟阵可以用来求最小生成树！

其中子集{AB, AC}小于子集{BC, BD, DE}的大小，存在边形成的新集合是独立的 -- 集合中的边不构成环。

注意：边不能选择BC，因为并操作后形成的新集合形成了环。同时，也再次说明拟阵定义的第3点，存在一个元素而不是所有元素！

那这里，如果将I定义成任意边的集合，M'也是一个拟阵。不过在这个拟阵上能干啥呢？