【笔记整理】数字信号处理复习——IIR和FIR滤波器

IIR滤波器和FIR滤波器都是数字滤波器。根据冲激响应的不同分为以下两种滤波器

IIR滤波器(无限冲激响应IIR: infinite impulse response)

对于IIR滤波器，冲激响应理论上应会无限持续，其输出不仅取决于当前和过去的输入信号值，也取决于过去的信号输出值（反馈）

• 设计方法：
  • 根据要设计滤波器的参数去确定一个模拟滤波器的传输函数$H_a(s)$
    • 模拟滤波器类型：巴特沃斯型滤波器，切比雪夫型滤波器，椭圆滤波器（选择性最好，等波纹）等
  • 根据传输函数，通过脉冲响应不变法或是双线性变换法进行数字滤波器的设计。
    $$H_a(s)\to H(z)$$
    • 脉冲响应不变法：
      $$\Omega =\frac{\omega }{T}$$
      $$Z=e^{ST}$$
    • 双线性变换法：
      $$\Omega =\frac{2}{T}\tan (\frac{\omega }{2})$$
      $$H(z)=H_a(s){|}_{s=\frac{2}{T}\cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}$$
      双线性变换法有预畸变的问题

FIR滤波器(有限冲激响应FIR: finite impulse response)

对于FIR滤波器，冲激响应在有限时间内衰减为零，其输出仅取决于当前和过去的输入信号值。

• 设计方法：

  • 选择窗函数的类型和长度，根据阻带最小衰减选择窗函数的类型——保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数
    • 窗函数类型：矩形窗、三角窗、汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗、凯瑟窗
  • 构造希望逼近的频率响应函数$H_d(e^{j\omega })$
  • 对$H_d(e^{j\omega })$进行逆傅里叶变换求出$h_d(n)$
  • 加窗得到单位脉冲响应$h(n)=h_d(n)w(n)$

以下引出几个问题：

FIR和IIR的比较

• 从效率、选择性上比较：
  • IIR滤波器：存在反馈，因而可用比FIR滤波器较少的阶数来满足指标要求。存储单元少，运算次数少，较为经济
  • FIR滤波器：不存在反馈，只能用较高的阶数达到高的选择性
• 从稳定性上比较：
  • IIR滤波器：传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，有稳定性的问题
  • FIR滤波器：传输函数的极点固定在原点上，不存在稳定性的问题
• 从性能上比较：
  • IIR滤波器：高效率（高效性体现在：以较低的阶数达到指标）是以相位的非线性为代价。选择性越好，则相位非线性越严重。如果IIR滤波器要得到线性相位，又要满足幅度滤波的技术要求，必须加全通网络进行相位校正，这样会增加滤波器的阶数
  • FIR滤波器：可以得到严格的线性相位
• 从结构上比较
  • IIR滤波器：必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内。递归结构中，运算四舍五入处理，有时会引起寄生震荡
  • FIR滤波器：主要采用非递归结构，不存在稳定性问题，运算误差也小
• 从算法上比较
  • IIR滤波器：无快速算法
  • FIR滤波器：冲激响应有限长，可用FFT算法，减小运算量

FIR滤波器的优点和缺点

• 优点
  • 既具有严格的线性相位，又具有任意的幅度
  • FIR滤波器器的频率响应极点都在零点上，因此滤波器的性能稳定
  • 只要经过一定的延时，任何非因果有现场序列都能变成因果的有限长序列，因而能用因果系统来实现
  • 单位冲激响应式有限长的，因而可用快速傅里叶变换FFT算法来实现过滤信号，可大大提高运算效率
• 缺点
  • 与IIR滤波器相比，FIR滤波器不存在反馈，需要用更高的阶数达到相同的指标

IIR滤波器的优点和缺点

• 优点
  • IIR滤波器有反馈，因此可以用比较少的阶数来达到指标。存储单元少，运算次数少，较为经济
• 缺点
  • IIR滤波器频率响应的极点，可位于单位圆上的任何一个地方，因此有稳定性的问题
  • IIR滤波器的高效率（以更少的阶数来达成指标）是以线性相位为代价的。选择性越好，相位非线性越严重。如果IIR滤波器要得到线性相位，又要满足滤波要求，必须加全通网络进行相位校正，这样会增加滤波器的阶数
  • 必须采用递归结构，极点必须在单位内，才能稳定，而对于递归结构，运算中的四舍五入处理，有时会引起寄生震荡