数据结构-堆

数据结构-堆

堆可以用来解决动态区间查询最值问题。

堆就是一个完全二叉树，可以插入节点，删除根节点（也可以删除特定节点）。

为了方便，普通的堆节点 $i$ 的父亲就是 $[i÷2]$ （$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）。

节点 $i$ 的左儿子是 $i\times 2$，右儿子是 $i\times 2+1$。

对于一个大顶堆：

每次插入节点的时候，就把节点插在完全二叉树的最后，如果它比它的父亲节点大，就把它和父亲交换，然后一直和父亲比较交换，直到父亲的值比它大，或者它已经成为树根。

每次删除根节点的时候，就把完全二叉树最后的那个节点放到根节点上，然后让最后那个节点原来的位置消失。然后把单前的根节点，跟它的左儿子比较，如果比左儿子小，就跟左儿子交换，然后不停跟左儿子比较交换知道它比左儿子大或着他没有左儿子。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

如果你掌握了这些，那蒟蒻就放代码了：

#include 
using namespace std;
const int N=1e5+10;
class heap{
public:
	int v[N],sz;
	heap(){sz=0;}
	void push(int x){ //插入
		int p=++sz;
		for(v[p]=x;p>1&&v[p>>1]<v[p];p>>=1)
			swap(v[p>>1],v[p]);
	}
	void pop(){ //删除顶
		swap(v[1],v[sz--]);
		for(int p=1;(p<<1)<=sz&&v[p<<1]>v[p];p<<=1)
			swap(v[p<<1],v[p]);
	}
	int top(){return v[1];}
}q;
int main(){
	int f,x;
	while(scanf("%d",&f)==1){
		if(f==1) scanf("%d",&x),q.push(x);
		else if(f==2) q.pop();
		else if(f==3) printf("%d\n",q.top());
	}
	return 0;
}

可是很多时候我们急需一个堆，那就不需要写那么长，C++库里自带了数据结构堆：

priority_queue<int> q;

默认是大顶堆，支持 $q.push(x)$、$q.pop()$、$q.top()$。如果想要小顶堆，只需这么写：

priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> q;

如果你要自定义比较运算符 $cmp$，可以这么写：

class cmp{  //自定义比较运算符cmp
public:
	bool operator()(int x,int y){
		return abs(x-5)>abs(y-5); //最接近5的数为堆顶
	}
};
priority_queue<int,vector<int>,cmp> q;

与 $sort()$ 不一样，堆顶与堆中每个元素 $cmp$ 都是 $0$。比如你的 $cmp$ 内是 $returnx>y;$ 那么就是小顶堆。

特别模块：双堆删除

如果你想删除堆中特定的一个数，那么就要用到双堆删除。

开另一个堆，把要删的数 $push$ 进去。每次取原堆 $top()$ 的时候，如果原堆 $top()$ 等于这个堆的 $top()$，就 $pop()$，直到这个堆没数了或者两个堆堆顶不相同了。

class double_heap{
public:
	priority_queue<int> que,del;
	void push(int x){que.push(x);}
	void delet(int x){del.push(x);}
	int top(){
		while(del.size()&&que.top()==del.top())
			del.pop(),que.pop();
		if(que.empty()) return -1;
		return que.top();
	}
}q;

关于堆的还有左偏树-可并堆，但这里不讲，那是后续知识。

祝大家学习愉快！