HDU2089不要62(数位DP入门)

首先附上一段大牛的精彩讲解：

原文请点击此处：http://www.itdadao.com/articles/c15a541366p0.html

数位DP其实是很灵活的，所以一定不要奢求一篇文章就会遍所有数位DP的题，这一篇只能是讲清楚一种情况，其他情况遇到再总结，在不断总结中慢慢体会这个思想，以后说不定就能达到一看到题目就能灵活运用的水平。（其实DP都是这样……）

这一篇要说的数位DP是一道最简单的数位DP：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2089

　　　　　　题目大意：多组数据，每次给定区间[n,m]，求在n到m中没有“62“或“4“的数的个数。

　　　　　　如62315包含62，88914包含4，这两个数都是不合法的。0

试想：我们如果能有一个函数count(int x)，可以返回[0,x]之间符合题意的数的个数。那么是不是直接输出count(m)-count(n-1)就是答案？

好，那么下面我们的关注点就在于怎么做出这个函数。我们需要一个数组。（dp原本就是空间换时间）

我们设一个数组f[i][j]，表示i位数，最高位是j的数，符合题意的数有多少个。比如f[1][2]=1; f[1][4]=0; f[2][6]=8 (60,61,63,64,65,66,67,68,69).

我们先不关注这个f有什么用，我们先关注f本身怎么求。首先f[1][i]=0(if i==4),f[1][i]=1(if i!=4) (0<=i<=9)。这一步是很显然的，那么根据这个题的数据范围，只需要递推到f[7][i]就够用了。那么稍微理解一下，可以想出递推式：

　　f[i][j]=

　　　　if (j==4) f[i][j]=0

　　　　else if (j!=6) f[i][j]=Σf[i-1][k] (k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

　　　　else if (j==6) f[i][j]=Σf[i-1][k] (k=0,1,3,4,5,6,7,8,9)

上面的式子也是很显然的，如果觉得不显然可以这样想：i位数，最高位是j的符合条件的数，如果j是4，肯定都不符合条件（因为题目不让有4），所以直接是0；如果j不是6，那么它后面随便取，只要符合题意就可以，所以是f[i-1][k],k可以随便取的和；如果j是6，后面只要不是2就行，所以是f[i-1][k],k除了2都可以，求和。

那么现在我们已经得到了f数组，再重申一下它的含义：i位数，最高位是j的数，符合题意的数有多少个。

现在我们就要关注怎么利用f数组做出上面我们说的那个函数count(int x)，它可以求出[0,x]中符合题意的数有多少个。

那么我们做这样一个函数int solve(int x) 它可以返回[0,x)中符合题意的有多少个。那么solve(x+1)实际上与count(x)是等价的。

那么现在问题转化成了：小于x，符合题意的数有多少个？

很简单，既然小于，从最高位开始比，必定有一位要严格小于x（前面的都相等）。所以我们就枚举哪一位严格小于（前面的都相等）。

假设我们现在把x分成了a₁,a₂,...,a_L这样一个数组，长度为L，a_L是最高位。

那么结果实际上就是这样：长度为L，最高位取[0,a_L-1]的所有的符合题意数的和；再加上长度为L，最高位取a_L，次高位取[0,a_L-1-1]的所有符合题意数的和；再加上……；一直到第一位。

上面有一句话之所以标粗体，是因为这句话并不是对的，但是为了好看，就先这样写着。因为我们还需要考虑这种情况：最高位a_L如果是4，那么这句话直接就可以终止了，因为粗体这句话前面的那句话“最高位取a_L”是不能成立的。还要考虑这种情况：最高位aL如果是6，那么这里并不是能取[0,a_L-1-1]的所有（不能取2）。加上这些条件之后就很严谨了。

把上面的汉字对应到题目里，就是我们前面求出来的f[L][0..a_L-1]  f[L-1][0..a_L-1-1]，所以稍加思索之后就能写出程序了。

最后附上我自己的一点思考：

对于这数位dp的入门题，这篇分析讲解的还是非常棒的，但是最后的几句话我还是感觉不是那么的合理。

需要注意的是，下面代码中的solve(int x)是返回[0,x)中符合题意的有多少个,并不包括该数本身。其中有比较难理解的一点就是，一般的数位dp采取的是记忆化搜索,但是下面的代码只是采用了for循环从数的高位开始枚举小于该位的数字。在小于上可能会需要一点思考，随便举个例子，比如76543。那么从高位开始枚举，就是0-6嘛，因为最高位是7，当加上dp[5][0-6]后（5表示五位数），那么最高位从0到6的符合题意的数都被加上了，也就是说最高位为0-6的5位数中符合题目要求的个数被加上了。那最高位是7的怎么办，不是还有可能最高位是7么？接下来枚举次高位，就是0-5，当加上dp[4][0-5]后，代表的意思就是，当固定最高位为7后，加上次高位为0-5的，也就是相当于加上”最高位为0-5的4位数中所有符合题目要求的数的个数“，注意此时实际上并不是前一句话中的4位数，因为最高位是7，这个条件是隐含的。其实就是加上了最高位为7，次高位为0-5的所有符合题目要求的5位数。那么之后的枚举也是同样道理。想说明的只是一点，在for循环中，当枚举下一位时，上一位其实是被固定为了原来x中该位的数，这个条件是隐含的，或者说是初次接触可能需要花一些时间才能想到的。

综合上述观点，得出的思考：

1. 赋dp[0][0] = 1,是一个很有技巧的一个步骤。可以当作经验，或者结合具体的情况来进行分析。
2. 从高位开始枚举每一位数字的时候都是枚举小于该位原先的数，当枚举下一位时，上一位数字是被固定为了原先的数，这个条件在for循环中是隐含的。也正因为如此，solve(int x) 返回[0,x)中符合题意的有多少个，它的区间左闭右开，就是因为在枚举个位的时候并没有枚举到该数个位上原本的数，而导致枚举不到x这个数本身。所以经常看到计算时候会先有x++或者x+1之类的。

#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL dp[10][10];
int a[10];
void getdp()
{
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i < 10; i++)
    {
        for(int j = 0; j < 10; j++)
        {
            if(j == 4)
                dp[i][j] = 0;
            else if(j == 6)
            {
                for(int k = 0; k < 10; k++)
                    dp[i][j] += dp[i-1][k];
                dp[i][j] -= dp[i-1][2];
            }
            else
            {
                for(int k = 0; k < 10; k++)
                    dp[i][j] += dp[i-1][k];
            }
        }
    }
}
LL slove(int num)
{
    a[0] = 0;
    while(num)
    {
        a[++a[0]] = num % 10;
        num /= 10;
    }
    a[a[0]+1] = 0;
    LL ans = 0;
    for(int i = a[0]; i >= 1; i--)
    {
        for(int j = 0; j < a[i]; j++)
            if(j != 4 && !(a[i+1] == 6 && j == 2))
                ans += dp[i][j];
        if(a[i] == 4)
            break;
        if(a[i+1] == 6 && a[i] == 2)
            break;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n, m;
    getdp();
    while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2 && (n || m))
    {
        LL k1 = slove(m+1);
        LL k2 = slove(n);
        printf("%I64d\n", k1 - k2);
    }
    return 0;
}