序列的运算

基本运算

调制

  两个序列样本值的乘积，指的是将两个序列的样本值逐点对应相乘，从而得到新的序列：
$$y[n]=x[n]w[n]$$
在一些应用中，序列的乘积也叫做调制，实现该运算的器件称为调制器。

相乘

  一个序列的每个样本值都乘以标量A以产生新的序列
$$y[n]=Ax[n]$$
实现相乘运算的器件称为乘法器。

相加

  把两个序列的样本值逐点的相加得到新的序列
$$y[n]=x[n]+w[n]$$
实现该运算的器件称为加法器。

时移

  时移运算表现为
$$y[n]=x[n-N]$$
若$N>0$，则称之为延迟运算，若$N<0$则称之为超前运算。

  单位延迟为延迟一个单位，即
$$y[n]=x[n-1]$$
在$Z$变换中，延迟一个单位相当于乘以$z^{-1}$，所以在方框图用$z^{-1}$表示延迟一个单位

  同理，单位超前一个单位可以写为
$$y[n]=x[n+1]$$
在$Z$变换中，超前一个单位相当于乘以$z$，所以在方框图用$z$表示超前一个单位

反褶

  序列的反褶表现为
$$y[n]=x[-n]$$

  下面给出一些序列运算的例子，我将以图形的形式给出

调制

相加

单位延迟

单位超前

反褶

  大多数的应用都是采用上述基本运算的组合。

卷积

  $x[n]$和$h[n]$为两个序列，这两个序列通过卷积后产生新的序列是
$$y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[n-m]$$
至于为什么会有卷积和这种运算，在离散时间系统那里详细介绍过，卷积和可以说是信号与系统分析中最重要的运算之一。

  观察卷积的表达式，发现卷积也是由基本运算组成的：首先对$h[m]$进行反褶得到$h[-m]$，然后进行时移运算，由$h[-m]$得到$h[-(m-n)]=h[n-m]$，然后进行调制运算$x[m]h[n-m]$，最后进行相加运算得到$y[n]={\sum }_{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[n-m]$，所以一个卷积运算是由反褶，时移，调制，相加等基本运算组成的。

  其实在实际的计算，计算过程就是由我上面所说的过程组成，从这里就可以看到，其实做卷积运算是比较麻烦的，在学习变换域时，有更好的办法进行卷积运算。

  卷积和一般也写成$$y[n]=x[n]\ast y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[n-m]$$
我们对上面的式子做一个变换，令$m=n-k$，则：
$$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]=h[n]\ast x[n]$$
所以卷积满足交换律。

不做卷积得到某一项的值

  如何快速展开得到卷积某一项的值，比如想得到$y[2]$的值。

  假设$x[n],w[n]$的起点都是$0$，那么可以快速写出$$y[2]=x[0]w[2]+x[1]w[1]+x[2]w[0]$$
观察表达式可以得到$x$的下标和$w$的下标加起来等于$2$，所以想快速得到卷积后某一项的值可以快速的写出来，只要$x$的下标加上$w$的下标等于$n$。

  那么$y[3]$可以写为

$$y[3]=x[0]w[3]+x[1]w[2]+x[2]w[1]+x[3]w[0]$$
这里假设$x$和$w$都是从$0$开始的,并且$x$和$w$都能取到$x[3]$和$w[3]$。

  当然对于不是从$0$开始的也成立，假设$x$是从$-1$开始的，$w$是从$0$开始的，那么

$$y[2]=x[-1]w[3]+x[0]w[2]+x[1]w[1]+x[2]w[0]$$
上述表达式成立前提是$x$有$x[2]$和$w$有$w[3]$。

有限长序列卷积

卷积后的长度

  假设序列$x[n]$的有值区间为$N_1\le n\le N_2$，长度为$N=N_2-N_1+1$，$w[n]$的有值区间为$N_3\le n\le N_4$，长度为$W=N_4-N_3+1$，$y[n]=x[n]\ast w[n]$，那么$y[n]$的长度是多少，有值区间又是多少？

  从卷积的表示式得到$$y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]w[n-m]$$
所以
$$\begin{gathered} N_1\le m\le N_2 \\ {N}_3\le n-m\le N_4 \end{gathered}$$
得到
$$N_1+N_3\le n\le N_2+N_4$$
所以$y[n]$的长度为
$$\begin{array}{rl}& N_2+N_4-(N_1+N_3)+1\\ & =(N_2-N_1+1)+(N_4-N_3+1)-1\\ & =N+M-1\end{array}$$
有值区间为
$$N_1+N_3\le n\le N_2+N_4$$

  所以得到的结论是，两有限长序列的卷积，卷积后序列长度为两序列长度相加再减一，卷积序列有值区间的起点为两序列的起点相加，终点为两序列的终点相加。

  在这里给出一个卷积和计算的例子(用计算机实现的)

卷积和$y[n]=x[n]\ast w[n]$

  观察到卷积后序列的有值区间的起点为序列起点的相加$-2+1=-1$，终点为两序列终点的相加$3+4=7$

用多项式乘法快速计算卷积

  该方法在有的书上也叫作列表法，不过我觉得叫什么无所谓，能掌握怎么计算的就可以
我们就用上图中的例子为例：
$$x[n]=\{1,5,\underset{\uparrow }{6},7,8,9\}$$
$$w[n]=\{2,5,9,4\}w[n]从1开始$$
  我们先用定义法计算，首先我们可以得到$y[n]$的有值区间为$[-1,7]$，然后利用介绍的快速展开计算每一项的值：
$$\begin{array}{rl}y[-1]& =x[-2]w[1]=2\\ y[0]& =x[-2]w[2]+x[-1]w[1]=1\ast 5+5\ast 2=15\\ y[1]& =x[-2]w[3]+x[-1]w[2]+x[0]w[1]=1\ast 9+5\ast 5+6\ast 2=46\\ y[2]& =x[-2]w[4]+x[-1]w[3]+x[0]w[2]+x[1]w[1]=1\ast 4+5\ast 9+6\ast 5+7\ast 2=93\\ y[3]& =x[-1]w[4]+x[0]w[3]+x[1]w[2]+x[2]w[1]=5\ast 4+6\ast 9+7\ast 5+8\ast 2=125\\ y[4]& =x[0]w[4]+x[1]w[3]+x[2]w[2]+x[3]w[1]=6\ast 4+7\ast 9+8\ast 5+9\ast 2=145\\ y[5]& =x[1]w[4]+x[2]w[2]+x[3]w[1]=7\ast 4+8\ast 9+9\ast 5=145\\ y[6]& =x[2]w[4]+x[3]w[3]=8\ast 4+9\ast 9=113\\ y[7]& =x[3]w[4]=9\ast 4=36\end{array}$$

  得到的结果应该与上图中的$y[n]$是相同的，但是说实话，做完这一遍我再也不想做第二遍，在这里介绍第二种快速计算的方法，这种方法手算比前面的快很多倍，只要会乘法就可以。

  还是以以上的$x[n]$和$w[n]$为例，将$x[n]$和$w[n]$列出来，如下所示

  按照多项式乘法的规则即可，不过与多项式乘法不同的是，不用逢十进位，通过这个方法得到的序列是
$$y[n]=\{2,15,46,93,125,145,145,113,36\}$$

  与上面用定义计算得到的结果是一样的，但是我这里没有标出$0$的位置，如何快速得出$y[0]$的位置呢(虽然我们知道$y[n]$的起始位置是$-1$，可以推出$0$的位置)，那就是用小数乘法，将0位置后面标出小数点，比如序列$x[n]$在$x[0]=6$的后面标一个小数点，w可以在前面补0，所以可以写成

所以$15$就是$y[0]$的位置。

  至于多项式乘法为什么可以计算卷积，感兴趣的可以自己去查阅资料，毕竟这不是重点，重点是大家掌握这种方法就可以。

  其实卷积还有很多有意思的性质，大家可以在习题中多多体会，这里贴出我写的配套习题。这个习题是我参考教材

数字信号处理----基于计算机的方法

离散时间信号与系统题目

抽样率转换

  从一个序列生成抽样率高于或低于它的序列叫做抽样率转换。

  假设$x[n]$是以频率$F_{T}Hz$抽样得到的序列，由$x[n]$得到的$y[n]$的序列抽样频率为$F_T^{{}^{\prime }}Hz$，定义抽样率转换比
$$\frac{F_T^{{}^{\prime }}}{F_T}=R$$
如果$R>1$，也就是说$F_T^{{}^{\prime }}>F_T$，得到的抽样频率变大了，由$x[n]$得到抽样频率更大的$y[n]$的运算叫做内插，实现该运算的叫做内插器。反之如果得到的抽样频率更小，那么该运算叫做抽取，相应实现该运算的叫做抽取器。

  那么为什么叫做内插和抽取呢？到底内插和抽取是怎么样的一个过程。

  假设序列$x[n]$是以频率$F_T$对信号进行抽样，而另一个信号$y[n]$的抽样频率$F_T^{{}^{\prime }}$是$x[n]$的两倍，那么这就意味着$y[n]$的样本值的个数是$x[n]$的两倍，所以从$x[n]$得到$y[n]$就得"插入"多余的那些样本值，一般插入的都是0。假设$F_T^{{}^{\prime }}=2F_T$，那么$x[n]$就得每隔一点插入一个0。

  我以一个例子来说明内插是一个什么样的过程，假设$F_T^{{}^{\prime }}=2F_T$

  一般的如果$F_T^{{}^{\prime }}=L{F}_T,L>1$，那么$y[n]$与$x[n]$之间的关系为
$$y[n]=\{\begin{array}{ll}x[n/L],& n=0,\pm L,\pm 2L,...\\ 0,& 其他\end{array}$$

  相反，如果得到序列的抽样频率更低的话，也就是说$x[n]$的样本值个数更多，就得减少$x[n]$的个数，具体的做法就是抽取，如果$F_T=2F_T^{{}^{\prime }}$的话，那么就每隔一个抽取一个样本值。

  同样以一个例子演示抽取的过程：

  一般的如果$F_T=M{F}_T^{{}^{\prime }},M>1$，那么$y[n]$与$x[n]$之间的关系为
$$y[n]=x[nM]$$