非线性约束最优化

CanChen [email protected]

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讲完了二次线性规划，这节课主要是讲了一般的非线性约束最优化怎么解。

 

等式约束-Lagrange-Newton

先列Lagrange方程：

然后用牛顿法求方程的根（这个迭代又被称为Newton-Raphson迭代）：

 

Sequential Quadratic Programming

这个问题是最泛化的优化问题了，先看看怎么根据KT条件写出原始优化问题

这一步实际上是把一般的优化问题，转化成了多个二次函数优化问题，循环求解。对于每个子问题，需要采用active set方法，每次只考虑等式约束，根据具体情况添加或者删除约束。

 

罚函数法

实际中总是逐渐增大罚因子，求解无约束问题。这种通过求解一系列无约束问题来获得约束最优化问题的最优解，称之为序贯无约束极小化技术。
罚函数经典三引理：

这里的引理1是关键，其实也很好证明，就是根据两个x分别是最优解，得到两个不等式，简单处理一下就行了。
三个引理刻画了罚函数法动态变化的过程。
其中，第三个引理就是说，我迭代到一步，不想迭代了，这个时候实际上得到的解是把定义域扩大了之后的解。

 

乘子罚函数

这里实际上就是目标函数，加朗格朗日项，加罚项。使用罚函数，必须要求罚因子趋于无穷大，然而这在实际中很难办到。这里引入朗格朗日项，让罚因子不用趋于无穷，就能得到结果。本质是就是将乘子罚函数在迭代中寻找和拉格朗日函数的关系，从而将带约束问题转化为无约束问题。
这里给出了带约束问题的二阶充分条件，非常牛逼，之前只是必要条件。

 

障碍函数法

这个实际上通过无限限制边界，将有约束问题转化为无约束问题。

 

内点法

这个实际上是改变互补松弛条件，sz=u>0, 所以s>0,所以一定是内点。本质上还是在求解KT系统，把不等式改造成等式，还在内部，这个比较野蛮。后面凸优化就是干这个。
障碍函数法和内点法本质是一样的。