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BZOJ 3930 选数 （莫比乌斯反演+神奇的杜教筛）

BZOJ 3930 选数 （莫比乌斯反演+神奇的杜教筛）_第1张图片

（对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5）


这个题要是数据范围出小一些解释个裸的莫比乌斯反演。

问题就是数据范围太鬼畜，我们无法筛出这个范围的莫比乌斯函数前缀和。

这时就要用到杜教筛，它是用来解决 n<= 10^11 时的一些积性函数的前缀和问题的

本鶸对此理解还不深，大家可以自行上网找相关博客。

这一篇就很好

author: skywalkert
original article: skywalkert
last update time : 2017-04-01


然后就是裸的莫比乌斯过程了


代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
#define fi first
#define se second
const int MAXN=10000000+23;
const LL MOD=1e9+7;
mapmu_sum;
LL miu[MAXN],prime[MAXN],total;
bool isprime[MAXN];
void make()
{
    LL m=MAXN-3;
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    isprime[1]=isprime[0]=false;
    miu[1]=1;
    total=0;
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        if(isprime[i])prime[++total]=i,miu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=total&&prime[j]*i<=m;j++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j])miu[i*prime[j]]=-miu[i];
            else {miu[i*prime[j]]=0;break;}
        }
    }
    for(int i=2;i<=m;i++)miu[i]+=miu[i-1];
}
LL cal(int x)
{
    if(x<=10000000)
        return miu[x];
    if(mu_sum.find(x)!=mu_sum.end())
        return mu_sum[x];
    long long i,last,re=1;
    for(i=1;i<=x;i=last+1)
    {
        last=x/(x/i);
        if(x/i-1)
            re-=(cal(last)-cal(i-1))*(x/i-1);
    }
    return mu_sum[x]=re;
}
LL quick(LL x,LL n)
{
    LL res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)res=res*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
        n>>=1;
    }
    return res%MOD;
}


LL n,k,h,l;

int main()
{
    make();
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&h)!=-1)
    {
        l--;l/=k;h/=k;
        LL res=0;
        for(LL i=1,last;i<=h;i=last+1)
        {
            if(i<=l)last=min(l/(l/i),h/(h/i));
            else last=h/(h/i);
            LL a=h/i,b=l/i;
            res+=(cal(last)-cal(i-1))*quick((a-b),n);
            res=(res%MOD+MOD)%MOD;
        }
        printf("%lld\n",res%MOD);
    }
    return 0;
}

一开始自己写的巨丑，看了网上dalao的之后才写对

另外还有一种递推的写法，那个我真心看不懂


BZOJ 3930 选数 （莫比乌斯反演+神奇的杜教筛）_第2张图片

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