Fast Fourier Transform

快速傅里叶变换(FFT)

这几天在家没事慢慢研究了一下集训最后的一个专题FFT, 陈犇讲完还是有点不是很懂, 网上的很多资料都讲的不是很清晰, 由于这个算法太美了, 我有必要写点什么东西表示对前人智慧的赞美! (顺便练练打公式)

1.FFT这玩意是什么?有什么用?

FFT ( fast Fourier transform )的中文名是快速傅里叶变换, 在信号领域有很大的作用, 在ACM中我们常用FFT来求解多项式乘法

举个例子:

y1=2x4+3x2+5x+7
y2=5x3+7x2+11
FFT就是用来快速地计算 y1⋅y2 所得到的多项式
( y1⋅y2=10x7+14x6+15x5+68x4+70x3+82x2+55x+77 )

2.FFT预备知识

1.多项式

1.多项式定义

A(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+an−2xn−2+an−1xn−1

A(x)=∑i=0n−1aixi

2.多项式表达方式

• 系数表达: (a0,a1,a2,⋯,an−2,an−1)
• 点值表达:选取 n 个(或以上)不同的值: x0,x1,...xn−2,xn−1 , 对多项式 A(x) 求值得到 A(x0),A(x1),⋅⋅⋅,A(xn−1)
  那么就称 {(xi,A(xi)),0≤i<n,i∈Z} 为多项式 A(x) 的点值表示

举个例子:

f(x)=2+3x+x2 这个多项式的系数表达式就是 (2,3,1) , 点值表达式就是 {(0,2),(1,6),(2,12)} 或者 {(1,6),(2,12),(3,20),(4,30)}
n−1 次多项式只要选取任意不同的 n 个点(或以上)都是可以的

显然不管是点值表达式还是系数表达式都可以唯一确定一个 n−1 次多项式, 并且它们是可以相互推导的

3.多项式的乘法

• 系数表达式下的乘法
  
  A(x)=∑i=0n−1aixi,B(x)=∑i=0n−1bixi
  
  那么 A(x)⋅B(x) 就可以表示为
  
  C(x)=∑i=02n−2(∑j=0iajbi−j)xi
• 点值表达式下的乘法
  
  {xi,C(xi)}={xi,A(xi)⋅B(xi)}

举个例子:

已知 f1(x)=x2+1,f2(x)=x+3
f1(x) 的点值表达式是 {(0,1),(1,2),(2,5),(3,10)}
f2(x) 的点值表达式是 {(0,3),(1,4),(2,5),(3,6)}
那么 f1(x)⋅f2(x) 的点值表达式就是 {(0,3),(1,8),(2,25),(3,60)}

2.单位复根

0.引入

先不考虑什么叫做单位复根
先在平面直角坐标系下画一个单位圆, 即 {(x,y)|x2+y2=1}
现在我们要在这个圆上取 n 个点 (n>0), 使得这 n 个点恰好把圆弧分成了 n 等份, 规定第 1 个点一定是 (1,0)

举个例子:

当 n=3 时, 这些点的坐标按照逆时针顺序分别是

(1,0),(−12,3√2),(−12,−3√2)

当 n=4 时, 这些点的坐标按照 逆时针顺序分别是

(1,0),(0,1),(−1,0),(0,−1)

当 n=8 时, 这些点的坐标按照 逆时针顺序分别是

(1,0),(2√2,2√2),(0,1),(−2√2,2√2),

(−1,0),(−2√2,−2√2),(0,1),(2√2,−2√2)

如果我们把 平面直角坐标系看做是 复平面, 那么上面那些 点就变成了一个 复数, 它们正是 单位复根

1.单位复根定义

方程 xn=1 在复数域内一定有 n 个不同的解
那么规定: wkn 是方程 xn=1 的第 k+1 个根 (0≤k<n)
也就是对应了上面我们从圆上逆时针选取的 n 个点中的第 k 个点

举个例子:

w02=1 (x2=1 的第 1 个根是 1)
w12=1 (x2=1 的第 2 个根是 −1)

w04=1 (x4=1 的第 1 个根是 1)
w14=i (x4=1 的第 2 个根是 i)
w24=1 (x4=1 的第 3 个根是 −1)
w34=i (x4=1 的第 4 个根是 −i)

w08=1 (x8=1 的第 1 个根是 1)
w18=i (x8=1 的第 2 个根是 2√2+2√2i)
w28=1 (x8=1 的第 3 个根是 i)
w38=i (x8=1 的第 4 个根是 −2√2+2√2i)
w48=1 (x8=1 的第 5 个根是 −1)
w58=i (x8=1 的第 6 个根是 −2√2−2√2i)
w68=1 (x8=1 的第 7 个根是 −i)
w78=i (x8=1 的第 8 个根是 2√2−2√2i)

我们不难归纳得到:

wkn=cos(2πkn)+sin(2πkn)i

规定: 当 k≥n 时, wkn=wk%nn
例如: w64=w24,w208=w48

2.单位复根性质

下面的只讨论 n 是 2 的次方时,即: n=2m,(m≥0) 时的性质
画图我们可以很容易的证明

(wkn)2=wkn/2

例如: (w38)2=w34 , (w68)2=w64=w24

3.FFT原理

用一句话来说就是:将原多项式的系数表达式转换成点值表达式 (O(nlog2n)) , 再将多项式的点值表达式相乘得到目标表达式的点值表达式 (O(n)) , 再将点值表达式转换成为系数表达式 (O(nlog2n))

为了能够在 O(nlog2n) 时间内得到多项式的点值表达式, FFT采取了一些小技巧, 选择 n 个单位复根进行求值, 由于单位复根的一些性质, 我们可以在 O(nlog2n) 求出它们的值

现在我们有一个最高次幂是 m 的多项式:

A(x)=a0+a1x+a2x+⋯+am−1xm−1+amxm

1.先将这个多项式的最高次数 扩充到 2 的次方 n−1

A(x)=a0+a1x+a2x+⋯+amxm+0⋅xm+1+0⋅xm+2+⋯+0⋅xn−1(n−1≥m)=a0+a1x+a2x2+⋯+an−2xn−2+an−1xn−1

2.分别带入 n 个不同的单位复根 (w0n,w1n,w2n,...,wn−1n)

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪A(w0n)=a0+a1w0n+⋯+an−1(w0n)n−1A(w1n)=a0+a1w1n+⋯+an−1(w1n)n−1A(w2n)=a0+a1w2n+⋯+an−1(w2n)n−1⋯⋯A(wn−2n)=a0+a1wn−2n⋯+an−1(wn−2n)n−1A(wn−1n)=a0+a1wn−1n⋯+an−1(wn−1n)n−1

可以写成一个矩阵:

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜A(w0n)A(w1n)A(w2n)⋮A(wn−2n)A(wn−1n)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜111⋮11w0nw1nw2n⋮wn−2nwn−1n(w0n)2(w1n)2(w2n)2⋮(wn−2n)2(wn−1n)2⋯⋯⋯⋱⋯⋯(w0n)n−2(w1n)n−2(w2n)n−2⋮(wn−2n)n−2(wn−1n)n−2(w0n)n−1(w1n)n−1(w2n)n−1⋮(wn−2n)n−1(wn−1n)n−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a0a1a2⋮an−2an−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

没错我们就是要在 O(nlog2n) 时间内得到 A(w0n),A(w1n),A(w2n),⋯,A(wn−2n),A(wn−1n) 这 n 个值 ! ! !
3.单独考虑其中任意一个方程

A(wkn)=a0+a1wkn+a2(wkn)2+⋯+an−1(wkn)n−1

3. 将奇数项和偶数项分开
得到

A(wkn)=(a0+a2(wkn)2+⋯+an−2(wkn)n−2)+(a1wkn+a3(wkn)3+⋯+an−1(wkn)n−1)=(a0+a2(wkn)2+⋯+an−2(wkn)n−2)+wkn(a1+a3(wkn)2+⋯+an−1(wkn)n−2)=(a0+a2wkn/2+⋯+an−2(wkn/2)n2−1)+wkn(a1+a3wkn/2+⋯+an−1(wkn/2)n2−1)

4.假设两个新的多项式:
A0(x)=a0+a2x+⋯+an−2xn2−1
A1(x)=a1+a3x+⋯+an−1xn2−1
那么 A(wkn)=A0(wkn/2)+wknA1(wkn/2)
我们只要再次用同样的方法计算 A0(x) 以及 A1(x) 就可以在 O(nlog2n) 时间内求出 A(x) 的 所有点值表达式了

举个例子:

多项式 f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3 , 我们要计算 A(w04),A(w14),A(w24),A(w34) 这4个点的值
1.
A(w04)=A0(w02)+w04A1(w02)
A(w14)=A0(w12)+w14A1(w12)
A(w24)=A0(w02)+w24A1(w02)
A(w34)=A0(w12)+w34A1(w12)
2.
A(w02)=A0(w01)+w02A1(w01)
A(w12)=A0(w01)+w12A1(w01)
3.
因为 w01=1 所以可以直接得到它的值, 也就是当前的系数

上述过程就称为 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

我们将多个多项式的点值表达式相乘, 获得了目标表达式的点值表达式
那么: 怎么获得目标表达式的系数表达式呢?

下面我们将要介绍 逆离散傅里叶变换(Inverse Discrete Fourier Transform)

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜A(x0)A(x1)A(x2)⋮A(xn−2)A(xn−1)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜111⋮11x0x1x2⋮xn−2xn−1(x0)2(x1)2(x2)2⋮(xn−2)2(xn−1)2⋯⋯⋯⋱⋯⋯(x0)n−2(x1)n−2(x2)n−2⋮(xn−2)n−2(xn−1)n−2(x0)n−1(x1)n−1(x2)n−1⋮(xn−2)n−1(xn−1)n−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a0a1a2⋮an−2an−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

上面的矩阵就是 DFT 的过程, 下面的矩阵就是 IDFT 的过程

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a0a1a2⋮an−2an−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=1n⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜111⋮11x−10x−11x−12⋮x−1n−2x−1n−1(x0)−2(x1)−2(x2)−2⋮(xn−2)−2(xn−1)−2⋯⋯⋯⋱⋯⋯(x0)−n+2(x1)−n+2(x2)−n+2⋮(xn−2)−n+2(xn−1)−n+2(x0)−n+1(x1)−n+1(x2)−n+1⋮(xn−2)−n+1(xn−1)−n+1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜A(x0)A(x1)A(x2)⋮A(xn−2)A(xn−1)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

其实差异并不大, 我们只需要将原来DFT中 wkn 换成 w−kn ,结果再乘上 1n 就从 DFT 变成了 IDFT