0-1背包问题：动态规划 python 空间优化
0-1背包问题总述
0-1背包问题是最简单的问题，此外还要完全背包问题、多重背包问题、混合背包问题、二维费用背包问题、分组背包问题等等。好的参考资料可以见《背包问题九讲》：https://www.kancloud.cn/kancloud/pack/70124
其中0-1背包问题是最基本的问题，其问题描述如下：
给出n个珍珠的体积v[i]和其价值price[i]，将他们装入一个大小为C的背包，最多能装入的总价值有多大？
之所以叫0-1背包，就是因为n个物品，每个只有一件，只有装包/不装包两种状态，即0-1问题。
解决该问题的方法为动态规划（Dynamic Programming），动态规划单听这个词觉得很庞大，其实可以说是对递归的一种优化，递归是不管需不需要都进行重新计算，其计算复杂度极高，动态规划用数据来存储其之前的状态，当进行下一步计算的时候直接调用不需要重新计算。那么问题来了，动态规划需要确定两个点：状态、状态转移方式。这里可以参考很多资料，不再仔细叙述。
状态转移方式：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] +price[i]);
最后计算出结果后，还要把哪些东西放入背包可以打印出来，这个利用倒循化进行遍历，如果后一个物品放入后价值高，则确定是要放入的；然后更新当前的体积。
二维数据解决0-1背包问题
二维空间的python代码如下：
# 将珠宝装入背包，珠宝Jewelry有体积、价值（v,price）
# 背包总容量为C，问题：如何将最有价值的珠宝装进去
import numpy as np
def pack():
C=10
num=5
v = [4,3,5,2,5]
price=[9,6,1,4,1] # 初始定义好的东西
sum=np.zeros((num+1,C+1)) # 相当于申请二维的空间
for jew in range(num+1): # 珠宝个数
for c in range(C+1): # 容量大小
if(jew==0): # 如果没有装入珠宝
sum[jew][c]=0
else:
sum[jew][c]=sum[jew-1][c]
if(jew>0 and c>v[jew-1]):
# d[i][j] >?= d[i - 1][j - v[i - 1]] + price[i - 1];
sum[jew][c]=max(sum[jew-1][c],sum[jew-1][c-v[jew-1]]+price[jew-1])
print("the max price:",sum[num][C])
# 记录最终的装入背包的珠宝，并打印 pack[]
pack=np.zeros((num))
volume = C
print(pack)
for jew in range(num,-1,-1): # 倒叙遍历（循环）
if(sum[jew][volume]>sum[jew-1][volume]): # 如果加入最后一个比前一个价值要高
pack[jew-1]=1
volume=volume-v[jew-1]
print("珠宝装包情况",pack)
# print(C)
# print(sum)
if __name__=="__main__":
pack()结果为：
最后一个矩阵为所有的记录，打印出来方便理解。
空间优化：一维数据解决0-1背包
从代码以及动态规划的角度可以很明显的感觉到，时间复杂度是无法优化的，但当前状态dp[i]只与前一个状态dp[i-1]相关，所以其空间复杂度可以进一步优化。那么其核心问题就变为：如果只用一个数组dp[0...V],能不能保证第i次循环结束后dp[v]就是之前定义的状态dp[i][v]呢？dp[i][v]是由dp[i-1][v]和dp[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推dp[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到dp[i-1][v]和dp[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，在每次主循环中我们以v=V...0的逆序推dp[v]，这样才能保证推dp[v]时dp[v-c[i]]保存的是状态dp[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：
for i in 0 ... N
for v = V ... 0
dp[v] = max{dp[v], dp[v-v[i]] + price[i]}
所以，其一维数据的代码为：
def find1array():
C = 10 # 背包总体积
num = 5 # 物品个数
v = [4, 3, 5, 2, 5] # 每个物品体积
price = [9, 6, 1, 4, 1] # 初始定义好的价格
dp=[0 for i in range(C+1)] # 定义固定大小()的数组
for i in range(num): # 从第i个物品开始遍历
for j in range(C,v[i]-1,-1): # 从容量开始往下递减
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+price[i])
print("一维递归计算结果：",dp[C])
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