欧几里得算法详解

欧几里得算法简介：

欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
还有另一种求两数的最大公约数的方法是更相减损法。

举例： 假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里德算法，是这样进行的：

1997 / 615 = 3 (余 152)
615 / 152 = 4(余7)
152 / 7 = 21(余5)
7 / 5 = 1 (余2)
5 / 2 = 2 (余1)
2 / 1 = 2 (余0)

至此，最大公约数为1
以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1

算法模板：

C版本

#include
int Gcd(unsigned int M,unsigned int N)
{
    unsigned int Rem;
    while(N > 0)
    {
        Rem = M % N;
        M = N;
        N = Rem;
    }
    return M;
}

C++版本

int Gcd(int M,int N)
{
	if(!N)
		return M;
	else
		return Gcd(N,M%N);	
}

欧几里得算法证明：

其计算原理依赖于下面的定理：
定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。最大公约数（Greatest Common Divisor）缩写为GCD。


gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)
证法一
因为a / b = k(余r)所以 a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r 假设d是a,b的一个公约数，则 a%d == 0, b%d == 0
而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此r%d==0
而r=a mod b,因此d也是b,a mod b的公约数
假设d是b,a mod b的公约数, 则b%d == 0,(a-k*b)%d == 0
($a-k\ast b$)%d = a%d-k$\ast$b%d == 0 , k是一个整数。
进而a%d == 0.因此d也是a,b的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
证法二
第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc
第二步：可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数,即c%r == 0
第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd,n=yd,(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)，得证
注意:两种方法是有区别的。


辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：
⒈.若 r 是 a ÷ b 的余数，且r不为0， 则
gcd(a,b) = gcd(b,r)
⒉.a 和其倍数之最大公因子为 a。
另一种写法是：
⒈.令r为a/b所得余数（0≤r 若 r= 0，算法结束；b 即为答案。
⒉.互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

在这里提一下我自己之前的疑问，我一直在想为什么当余数为0时就是最大公因数，原来一直想不明白只能硬套公式 现在仔细想了一下其实一直在辗转相除的两个数是因为除不尽留有余数才会继续寻找公因数，在余数等于0前，其实公因数没有出现过，所以只有当余数等于0了 才表示公因数出现了 而这个数即为最大公因数 暂时先这样理解吧