BZOJ4585 [Apio2016]烟火表演

“这个凸包的形式，妙啊，他妙啊，妙啊”

王梦迪神犇在讲题的时候写的题解挺详细的

我们对每个点，有一个把子树内长度统一的花费关于统一成的长度的函数f(x)，易知这个函数是下凸的，对于一个点x，设他的儿子是y，算x的函数的时候对所有的y，我们把y顶上那条边考虑进来，得到F(y)，然后对所有F(y)相加就得到了f(x)

算F(f(x))的方法是找到f(x)的最低的一段，设这段是[L,R]，这段一定是一个斜率为0的线段（长度可能为0），设这段的长度为len，x到fa[x]的距离为l，这段的纵坐标为c，则

       f(x)+l         (x<=L)

F(x)={   -x+L+l+c        (L

       c            (L+l<=x<=R+l)

       x-R-l+c        (x>R+l)

我们考虑维护函数的每个拐点，我们可以认为每个拐点都使函数的斜率-1（拐点可以重合）

这样只要知道每个拐点的横坐标和x=0时的函数值就能知道整个函数

x=0是函数的值就是子树内边权和

这样我们计算sigma F(y)的时候就把所有拐点加起来就可以

我们考虑 sigma F(y)，由于对于每个F(x)最右端斜率都是1，所以sigma(F(y))最右端的斜率是x的出度

所以我们弹掉最右边的出度-1个节点就得到了最低段，然后把最低段删掉再把最后两段加进来就得到了F(x)

最后得到f(1)之后我们就能得到最小值了

这个过程可以用可并堆维护，每个节点会加进来两个拐点，每个拐点最多被弹出去一次，所以复杂度是O((n+m)log(n+m))

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