数论 - 分解质因数+欧拉函数 - Relatives POJ - 2407

数论 - 分解质因数+欧拉函数

一、分解质因数

$$\begin{gathered} 由算术基本定理，任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数， \\ 那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P_1^{a_1}{P}_2^{a_2}{P}_3^{a_3}......P_n^{a_n}， \\ 这里P_1<P_2<P_3......<P_n均为质数，其中指数a_i是正整数。 \\ 现给定一个正整数n，可以以小于O(\sqrt{n})的时间复杂度得到其所有的质因子及每个质因子对应的幂。 \\ 即得到P_1,P_2,...,P_n和a_1,a_2,...,a_n。 \\ 同质数判定的方法类似，需要另外注意两点： \\ ①、依然是i从2开始枚举每个质因子，每次枚举到一个质因子就从n中把i除尽，这样可以保证合数因子被除掉。 \\ ②、对任意的n，至多仅有一个大于\sqrt{n}的质因子。 \\ 因为显然假设大于\sqrt{n}的质因子数量大于等于2，那么这两个质因子乘积必然大于n。 \\ 有了上面这个性质，我们每次枚举质因子i，只需要循环到\frac{n}{i}次即可， \\ 若最后n>1，说明存在一个比\sqrt{n}大的质因子，就是此时的“n”。 \\ 由于每次枚举一个i，会把n中的i因子除尽，总的时间复杂度是介于O(lo{g}_{2}n)-O(\sqrt{n})之间的。 \end{gathered}$$

例题：

给定n个正整数ai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个正整数ai。

输出格式
对于每个正整数ai,按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗10⁹

输入样例：
2
6
8

输出样例：
2 1
3 1

2 3

---

代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int n,x;
void divide(int x)
{
    for(int i=2;i<=x/i;i++)
        if(x%i==0)
        {
            int cnt=0;
            while(x%i==0)
            {
                x/=i;
                cnt++;
            }
            cout<<i<<" "<<cnt<<endl;
        }
    if(x>1) cout<<x<<" "<<1<<endl;
    cout<<endl;
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x;
        divide(x);
    }
    return 0;
}

二、欧拉函数

$$\begin{gathered} 对于正整数n，用欧拉函数能够求得[1,n-1]中与n互质的数的个数。 \\ 对正整数n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}...p_n^{a_n}，欧拉函数\varphi (n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_n})，其中,p_1,p_2,...,p_n是n的质因子。 \\ 原理：直白地讲，p_i是n的任意质因子，设[1,n]中，是p_i的倍数的数(p_i,2p_i,...)的个数是a_i， \\ 那么[1,n-1]中与n互质的数的个数=n-\sum a_i，而a_i=\frac{n}{p_i}，借助容斥原理得到的式子即\varphi (n)乘积展开的式子。 \\ 求正整数n的欧拉函数，我们可以利用分解质因数的方法求得n的所有质因子，再代入公式即可。 \\ 时间复杂度仍然是小于O(\sqrt{n})的。 \end{gathered}$$

例题：

给定n个正整数ai，请你求出每个数的欧拉函数。

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个正整数ai。

输出格式
输出共n行，每行输出一个正整数ai的欧拉函数。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗10⁹

输入样例：
3
3
6
8
输出样例：
2
2
4

注意：

$为了避免计算过程中小数的出现，将n(1-\frac{1}{p_i})转化为n/p_i\times (p_i-1)。$

---

代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int n,a;

int main()
{
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        cin>>a;
        int ans=a;
        for(int i=2;i<=a/i;i++)
        {
            if(a%i==0)
            {
                ans=ans/i*(i-1);
                while(a%i==0) a/=i;
            }
        }
        if(a>1) ans=ans/a*(a-1);
        cout<<ans<<endl;
    }

    return 0;
}

三、模板： Relatives POJ - 2407

题意：

$给定正整数n，输出[1,n-1]内，与n互质的数的个数。0为输入结尾。$

Sample Input：
7
12
0

Sample Output：
6
4

数据范围：

$$\begin{gathered} n<=10^9, \\ Timelimit：1000ms，Memorylimit：65536kB \end{gathered}$$

---

代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int n;
int euler(int n)
{
    int res=n;
    for(int i=2;i<=n/i;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) res=res/n*(n-1);
    return res;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d",&n),n)
        printf("%d\n",euler(n));

    return 0;
}