[noip2013]货车运输(kruskal + 树上倍增)

描述

A 国有 n 座城市，编号从 1 到 n，城市之间有 m 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。现在有 q 辆货车在运输货物，司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。

格式

输入格式

第一行有两个用一个空格隔开的整数 n，m，表示 A 国有 n 座城市和 m 条道路。

接下来 m 行每行 3 个整数 x、y、z，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从 x 号城市到 y 号城市有一条限重为 z 的道路。注意：x 不等于 y，两座城市之间可能有多条道路。

接下来一行有一个整数 q，表示有 q 辆货车需要运货。

接下来 q 行，每行两个整数 x、y，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市，注意：x 不等于 y。

输出格式

输出共有 q 行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。如果货车不能到达目的地，输出-1。

样例1

样例输入1

 

4 3 
1 2 4 
2 3 3 
3 1 1 
3
1 3 
1 4 
1 3

样例输出1

 

3
-1
3

限制

每个测试点1s。

提示

对于 30%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 10,000，0 < q < 1,000； 
对于 60%的数据，0 < n < 1,000，0 < m < 50,000，0 < q < 1,000； 
对于 100%的数据，0 < n < 10,000，0 < m < 50,000，0 < q < 30,000，0 ≤ z ≤ 100,000。

 

因为货车要运输最大货物，必须在整张图的最大生成树上选边，可以想到kruskal算法，但此时若要对每一个询问进行一次遍历的话需要 O(mn) 的时间复杂度，那么就需要把答案预先处理出来。

RMQ问题的ST算法 是用 d(i, j) 表示 从 i 开始 长度为 2^j 的一段元素之间的最小值

那么 d(i, j) = min{d(i ,j - 1), d(i + 2 ^ (j - 1), j - 1)}; 从 i 开始长度为 2^j 的最小值 = min{从 i 开始长度为2^(j - 1) 的一段元素的最小值， 从i + 2^(j - 1) + 1开始长度为2^(j - 1)的最小值}；

 

这个题在处理时同样可以借鉴这种思路，这个题在树上(我也不知道在说啥)，所以：

以 f[i][j] 表示第i个结点的第2^j个祖先是哪个点，那么 f[i][0] 为第i个节点的父亲。

以 g[i][j] 表示第i个结点到 f[i][j](第i个结点的第2^j个祖先) 的最短距离，那么 g[i][0] 表示第i个节点到自己父亲的(最短)距离。

 

转移可以模仿ST算法：

f[i][j] = f[ f[i][j - 1] ][j - 1]; 第i个点的第2^j个祖先 = 【第i个点第2^(j - 1)的祖先】 的 【第2^(j - 1)的祖先】

g[i][j] = min(g[i][j - 1], g[ f[i][j - 1] ][j - 1]); 第i个结点到 自己的第2^j个祖先 的最短距离 = min{第i个结点到 自己的第 2^(j - 1) 个祖先 的最短距离,【 第i个结点的第2^(j - 1)个祖先】到 【自己的第2^(j - 1)个祖先】 的最短距离}

【】只是为了帮助断句。。。

 

之后若要查询(x, y)的最短距离只需查询 min{(x, pos)的最短距离，(y, pos)的最短距离} pos为x，y的最近公共祖先

那么借用dfs的思路即可预处理整张图得到f和g

 

  1 #include 
  2 #include <string.h>
  3 #include 
  4 #include 
  5 using namespace std;
  6 struct node {
  7     int x, y, val;
  8 }edge[50005];
  9 int n, m, cnt;
 10 bool cmp(node a, node b) { return a.val > b.val; }
 11 int u[50005], v[50005], next[50005], first[10005], w[50005];
 12 int in[10005], father[10005], hi[10005];
 13 void addedge(int st, int end, int value)
 14 {
 15     u[++cnt] = st, v[cnt] = end, w[cnt] = value;
 16     next[cnt] = first[st];
 17     first[st] = cnt;
 18 }
 19 int getfather(int x) { return father[x] == x ? x : father[x] = getfather(father[x]); }
 20 void kruskal()
 21 {
 22     int count;
 23     for (int i = 1; i <= n; i++) father[i] = i;
 24     for (int i = 1; i <= m; i++) {
 25         int st = edge[i].x, end = edge[i].y;
 26         int fa = getfather(father[st]), fb = getfather(father[end]);
 27         if (fa != fb) {
 28             addedge(st, end, edge[i].val);
 29             addedge(end, st, edge[i].val);
 30             father[fb] = fa;
 31             count++;
 32             if (count == n - 1) return;
 33         }
 34     }
 35 }
 36 int vis[10005];
 37 int fa[10005][25], Min[10005][25];
 38 void dfs(int o)
 39 {
 40     vis[o] = 1;
 41     for (int i = 1; i <= 16; i++) {
 42         if (hi[o] < (1 << i)) break;
 43         fa[o][i] = fa[fa[o][i - 1]][i - 1];
 44         Min[o][i] = min(Min[o][i - 1], Min[fa[o][i - 1]][i - 1]);
 45     }
 46     for (int i = first[o]; i; i = next[i]) {
 47         int end = v[i];
 48         if (!vis[end]) {
 49             fa[end][0] = o;
 50             Min[end][0] = w[i];
 51             hi[end] = hi[o] + 1;
 52             dfs(end);
 53         }
 54     }
 55 }
 56 int lca(int l, int r)
 57 {
 58     if (hi[l] < hi[r]) swap(l, r);
 59     int t = hi[l] - hi[r];
 60     for (int i = 0; i <= 16; i++) {
 61         if ((1 << i) & t) l = fa[l][i];
 62     }
 63     for (int i = 16; i >= 0; i--) {
 64         if (fa[l][i] != fa[r][i]) {
 65             l = fa[l][i], r = fa[r][i];
 66         }
 67     }
 68     if (l == r) return l;
 69     return fa[l][0];
 70 }
 71 int ask(int l, int r)
 72 {
 73     int ret = 0x3f3f3f3f;
 74     int t = hi[l] - hi[r];
 75     for (int i = 0; i <= 16; i++) {
 76         if (t & (1 << i)) {
 77             ret = min(ret, Min[l][i]);
 78             l = fa[l][i];
 79         }
 80     }
 81     return ret;
 82 }
 83 int main()
 84 {
 85     memset(Min, 0x3f3f3f3f, sizeof(Min));
 86     scanf("%d%d", &n, &m);
 87     for (int i = 1; i <= m; i++) {
 88         scanf("%d%d%d", &edge[i].x, &edge[i].y, &edge[i].val);
 89     }
 90     sort(edge + 1, edge + 1 + m, cmp);
 91     kruskal();
 92     for (int i = 1; i <= n; i++) if (!vis[i]) dfs(i);
 93     int t, l, r;
 94     scanf("%d", &t);
 95     while (t--) {
 96         scanf("%d%d", &l, &r);
 97         if (getfather(father[l]) != getfather(father[r])) printf("-1\n");
 98         else {
 99             int pos = lca(l, r);
100             printf("%d\n", min(ask(l, pos), ask(r, pos)));
101         }
102     }
103     return 0;
104 }

 

变量名不好起啊。

 

 

 

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