优先队列
普通的队列是一种先进先出的数据结构，元素在队列尾追加，而从队列头删除。在优先队列中，元素被赋予优先级。当访问元素时，具有最高优先级的元素最先删除。优先队列具有最高级先出 （first in, largest out）的行为特征。通常采用堆数据结构来实现。
堆
堆（英语：heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树。
堆的实现通过构造二叉堆（binary heap），实为二叉树的一种；由于其应用的普遍性，当不加限定时，均指该数据结构的这种实现。这种数据结构具有以下性质。
- 任意节点小于（或大于）它的所有后裔，最小元（或最大元）在堆的根上（堆序性）。
- 堆总是一棵完全树。即除了最底层，其他层的节点都被元素填满，且最底层尽可能地从左到右填入。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
我们这里讲的是二叉堆。
堆的入队和出队的时间复杂度都是O(log n)
上图就是一个最大堆的事例
下面我们使用数组来构建一个最大堆，在这里为了便于理解，数组索引为0的节点不存放数值，从第二个节点开始存放数据。
当前节点的父节点、左孩子、右孩子的索引就会有如下的关系：
- 父节点的索引：index/2 (index为当前节点的索引)
- 左孩子的索引：index*2
- 右孩子的索引：index*2+1
如果从数组的第一个节点开始存放数据的话，当前节点的父节点、左孩子、右孩子的索引就会有如下的关系：
父节点的索引：(index-1)/2 (index为当前节点的索引)
左孩子的索引：index*2+1
右孩子的索引：index*2+2
最大堆的基础架构
import java.util.ArrayList;
public class MaxHeap> {
//这里使用数组来实现
private ArrayList data;
public MaxHeap(int capacity) {
data = new ArrayList<>(capacity);
}
public MaxHeap() {
data = new ArrayList<>();
}
//返回堆中元素的个数
public int getSize() {
return data.size();
}
//判断堆是否为空
public boolean isEmpty() {
return data.isEmpty();
}
//返回完全二叉树中索引为index的节点的父节点的索引
private int parent(int index) {
if (index == 0)
throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent");
return (index - 1) / 2;
}
//返回完全二叉树中索引为index的节点的左孩子的索引
private int leftChild(int index) {
return index * 2 + 1;
}
//返回完全二叉树中索引为index的节点的右孩子的索引
private int rightChild(int index) {
return index * 2 + 2;
}
//交换索引为i、j的值
private void swap(int i, int j) {
E t = data.get(i);
data.set(i, data.get(j));
data.set(j, t);
}
} 往堆中添加元素
- 再向堆中添加元素时，除了要维持完全二叉树的结构，还要注意堆的约束条件：根节点的值要大于左右子树的值。
在这里因为我们使用数组来实现的堆，所以添加元素时，我们可以先将元素添加到数组的末尾，然后循环的与父节点比较大小，比父节点大就与父节点交换位置，之后就继续与新的父节点比较大小，直到小于等于父节点。
- 如上图所示，我们要在这个堆中添加一个元素36
- 先将元素添加到数组的末尾。
- 然后通过当前的索引计算出父节点的索引，通过索引得到父节点的值16，通过比较新添加的节点比其父节点大，所以将新添加的值与父节点交换在数组中的位置。之后再与新的父节点41比较，36<41，结束操作。
添加元素的代码实现
//向堆中添加元素
public void add(E e) {
data.add(e);
siftUp(data.size() - 1);
}
private void siftUp(int k) {
//k不能是根节点，并且k的值要比父节点的值大
while (k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0) {
swap(k, parent(k));
k = parent(k);
}
}删除堆顶元素
删除堆顶元素要注意维持堆的特殊性质。这里举个例子。
- 要将这个堆中删除最大值，也就是堆顶元素62，先将62取出。
- 将堆顶元素和堆的最后一个元素互换，也就是数组的首尾元素互换。
- 删除最后一个元素，也就是堆中的最大值
- 将当前的堆顶元素16的左右孩子41、30进行比较，找出最大的一个41，再与根节点16进行比较，左孩子41比根节点16大，所以将根节点与其左孩子互换，如上图所示。
- 重复上面的操作，直到当前节点的值大于其左右子树。过程如下所示。
删除堆顶元素的代码实现
//看堆中最大的元素
public E findMax() {
if (data.size() == 0)
throw new IllegalArgumentException("Can not findMax when heap is empty");
return data.get(0);
}
//取出堆中最大的元素
public E extractMax() {
E ret = findMax();
swap(0, data.size() - 1);
data.remove(data.size() - 1);
siftDown(0);
return ret;
}
private void siftDown(int k) {
//leftChild存在
while (leftChild(k) < data.size()) {
int j = leftChild(k);
//rightChild存在,且值大于leftChild的值
if (j + 1 < data.size() &&
data.get(j).compareTo(data.get(j + 1)) < 0)
j = rightChild(k);
//data[j]是leftChild和rightChild中最大的
if (data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0)
break;
swap(k, j);
k = j;
}
}Replace操作
Replace是指将堆中的最大元素取出，替换另一个进去。
自然地我们会想到使用之前的extractMax()和add()来实现，但是这样的时间复杂度将会是两次的O(log n)，因此我们可以直接将堆顶元素替换以后执行sift down操作，这样时间复杂度就只有O(log n)。
Replace代码实现
//取出堆中最大的元素,替换为元素e
public E replace(E e){
E ret = findMax();
data.set(0, e);
siftDown(0);
return ret;
}
Heapify操作
Heapify是指将数组转化为堆
这里我们先将数组直接看成是一个完全二叉树，然后找到这棵二叉树的最后一个非叶子节点的节点，也就是该树的最后一个节点的父节点。然后从这个节点开始到根节点结束，执行sift down操作。
这样的时间复杂度为O(n)
Heapify代码实现
//heapify操作:将数组转化为堆
public MaxHeap(E[] arrs) {
data = new ArrayList<>(Arrays.asList(arrs));
for (int i = parent(data.size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}