被众人膜拜的欧拉恒等式是个什么东东？

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膜拜大神之作！！！！

老子说：道生一，一生二，二生三，三生万物。万物的本源既是数，自然世界造化了万物，也造化了人类，聪明的人类参照了大自然造化万物的方法，自已又物化出了一个能够认知、解释和预测自然界的一套逻辑方法。而数学，是这一切认知的逻辑基础，可以说，人类对世界的认识是随着数字的发明和数系的不断的扩展而加深的。数系的扩展是伴随着我们生活和认知的需要而进行的，从自然数扩展到分数，进而扩展到无理数，最后扩展到复数，而复数则是最令人费解的，很多人认为它反直觉而敬而远之。今天，我们就抽丝剥茧，探讨一下复数的本源意义，以及复数 自然常数 结合后发挥出的巨大威力。

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1. 为什么要发明复数

我们知道，在实数域上，加法、减法可以看成是沿数轴的左右平移，乘法、除法可以看成是沿数轴的拉伸和压缩（也可认为是重复平移），这可以认为是运算符最简单的理解。而数学，是建立在对物理实在的抽象的基础上，我们日常生活中除了平移运动外，还经常会碰到旋转，那旋转在数学上是如何表示的呢？很遗憾的说，在复数发明以前，处理旋转问题是很麻的，如果有人学过机器人，肯定会对每个关节的运动学（尤其是旋转）的坐标转换恨之入骨。接下来我们就可以看到，有了复数，处理旋转问题是多么轻松。

首先来看复数的定义： ，换种形式： 。这就是虚数 最基本的定义。拆解一下：乘法可以看成连续的操作， 经过2次完全一样的操作，变成 ，那什么样的操作能得到这个效果呢？聪明的你可能已经想到了：旋转啊，先旋转 ，再旋转 就可以了啊。

记住： 就代表了旋转。

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2. 代表了什么

我们知道， 是能够表征物质的连续变化，本质是一种极限，定义为：

，如果将定义中的 换成 ，则可以得到： 。那这个等式长什么样子呢？我们可以先借助MATLAB来把它画出来看看。

x=linspace(0,2*pi,50);%0到2pi之间均匀布置50个点；
n=5000;%此处可将n设成20,50，500或其他
e_ix=(1+x*1i./n).^n;
compass(e_ix);

程序的基本意思为：

当 的时候：

当 的时候：

当 的时候：

当 的时候：

可见，当 足够大的时候， 其实就是一个单位圆。并且很容易看出： 代表一族矢量，矢量的角度为 ，矢量的幅值为 。于是，可以得到下面的图形：

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3. 欧拉恒等式是个什么东东

从上图很容易得到： 。这就是著名的欧拉公式。一般教材喜欢从泰勒公式推导出欧拉公式，纯数学的方式固然严谨但是不易理解，从几何的角度看，这便成显而易见的事情。

接下来我们就要解释欧拉恒等式是个什么东东了：

欧拉恒等式被认为是数学上最优美的公式之一，在各大最美的公式排行榜中都留有一席之地，因为它将自然常数 ，圆周率 ，虚数单位 ，自然数 以及 这五个最基本的数字用两个基本的运算符 和 连接在一起了，被认为是上帝写下的音符。

如果按照我们上面的解释，翻译过来就是：自然数 ，绕坐标中心旋转 ( )，再平移 ，就回到个坐标原点。（具体见第一张图）。

当然 还有更符合直觉的内在涵义： 代表连续， 代表旋转， 自然就代表了连续旋转。那为啥这个函数这么重要呢？这就回到了开头老子的那句话：道生一，一生二，二生三，三生万物。 就是那个“一”，它能定量的描述“变”，后面我们会看到，傅里叶变换以及拉普拉斯都是建立在复指数函数的基础上的，傅里叶变换和拉普拉斯变换的重要性想必搞工程的人都是了解的。最后放一张电磁波（光也是电磁波哦）传播示意图，看着是不是和 有几分相似呢？