FPGA-CORDIC算法专题-00-认识CORDIC算法

写在前面

这个系列将会更很久吧，本文是该系列的开篇，主要参考的文章是黑金系列的FPGA STORY–CORDIC，黑金的论坛貌似吃灰好久了，教程感觉条理性挺好，就分享给大家吧，读书笔记和个人总结，希望对大家有帮助。

CORDIC是什么？

CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）算法即坐标旋转数字计算方法，是J.D.Volder1于1959年首次提出，主要用于三角函数、双曲线、指数、对数的计算。该算法通过基本的加和移位运算代替乘法运算，使得矢量的旋转和定向的计算不再需要三角函数、乘法、开方、反三角、指数等函数。

我们知道描述语言缺乏数学的天赋，故数学函数可能是一处死穴，而且数学还令人联想到恶心的浮点数，再者描述语言也不支持浮点数，更不用想象旁边有一座浮点数的数学库。在此，我们必须感叹命运的伟大，让我们获取一件数学工具，它与硬件不谋而合，它和 FPGA 臭味相投，它和描述语言更是天生一对！

这里黑金的教程说的很生动，确实在FPGA中，是不同擅长复杂的数学计算的，（我理解的不擅长只是形式复杂，实现比较麻烦，而不是本身没有MCU实现运算的效率高）因为FPGA不支持浮点数，所以很多操作就受到了限制，而在cordic的帮助下，FPGA可以熟练实现各种比较复杂的数学计算。这正是和硬件描述下一直缺少的部分是互补的。

12345.12345 // 定点数
1.234512345 x 10 4 or 12.34512345 x 10 3 // 浮点数

数学上，定点数是实数，浮点数也是实数，两者只有表达方式不同而已。定点数的小数点被锁死，浮点数的小数点则可以移动，这也表示后者拥有更大的计数范围。
CORIDC 算法自定义很强，我们完全可以按照自己的意思去调配它，甚至可以去到斤斤计较的程度。它伸缩自如，变换莫测，简直就是神器 …

CORDIC知识扫盲

这里参考黑金的解释：

假设矢量 V0 向矢量 V1 移动θ幅度，正常情况下的矢量会沿着圆形的轨
迹进行移动，这种情况我们称为旋转（Rotation）。相对之下，CORDIC 算法的情况比较特别，假设矢量 V0 向矢量 V1’移动θ幅度，故它不会是沿着圆形轨迹移动，而是按照伪旋转（Pseu Do Rotation）的方式进行。

当然，伪旋转也不是随心所欲想去哪里就去哪里，它必须遵守自己的变换规则。那么，什么是变换规则？这个问题就要涉及 CORDIC 算法的公式了。

假设源矢量 Vn 尝试逼近目标矢量 V4，对此它有 3 种视角解读。左图显示，这是旋转角度的视角，矢量每旋转一次角度就减小一些，如果读者觉得角度很难理解，我们可以把它视为距离，然后再看中图更容易理解了。中图显示，旋转角度被视为移动距离，大致过程如下：

（一）Vn 移动至 V0 是 1/2 的距离。
（二）V0 移动至 V1 是 1/4 的距离。
（三）V1 移动至 V2 是 1/8 的距离。
（四）V2 移动至 V3 是 1/16 的距离。
（五）V3 移动至 V4 是 1/32 的距离

结果而言，源矢量每一次向目标矢量逼近，下一次的距离是上一次的一半。另外，这幅图也告诉我们矢量存在旋转方向。假设以矢量 V4 的红线为参考系，那么其它矢量的表现如下：

（一）Vn 在移动之前，它在目标矢量的下面，所以它向上移动成为 V0。
（二）V0 在移动之前，它在目标矢量的上面，所以它向下移动成为 V1。
（三）V1 在移动之前，它在目标矢量的下面，所以它向上移动成为 V2。
（四）V2 在移动之前，它在目标矢量的上面，所以它向下移动成为 V3。
（五）V3 在移动之前，它在目标矢量的上面，所以它向下移动成为 V4。

理论上，矢量的旋转方向是有一个判断基准，上面虽然是矢量 V4。但是在算法里面，这个基准会根据模式而有所改变，具体内容请容许笔者放在后面再解释。最后，右图显示，源矢量每次向目标矢量逼近，它的长度会越来越接近目标矢量。总结而言，图 1.2告诉我们：

五个核心

（一）矢量移动的距离（角度）
（二）矢量移动的次数（精度）
（三）矢量移动的规则（公式）
（四）矢量移动的方向（加减）
（五）矢量最终的长度（结果）

CORDIC 算法是一种统称，规则和模式可以千变万化，但原理都离不开以上 5 个核心。理论上，矢量只要拥有足够的移动次数，它就会越来越接近目标，而且距离也会越来越短。矢量一旦停止移动，它的最终长度也代表最终结果，如果移动次数足够，那么结果的精度也会越高。

源矢量究竟要移动多少次才会停止

这里有两个控制选项:

• 矢量达到预设的移动次数。
• 源矢量与目标矢量的距离。

一般上，移动次数可以人为，所以 CORDIC 算法可以随意控制它的精度与速度。换句话说，要精度就拉长移动次数，要速度则是缩短移动次数。相对之下，CORDIC 算法在执行中有一个参数会扑向 0 值，这个参数表示源矢量与目标矢量之间的距离，它越接近零值结果越是收敛成熟。

两个模式：

1. 矢量模式（Vectoring Mode）
2. 旋转模式（Rotation Mode）

在旋转模式下，矢量的旋转方向由角度决定，
在矢量模式下，矢量的旋转方向则由坐标决定。

三个系统

（一）线性函数（Linear Method）
（二）三角函数（Circular/Trigonometric Method）
（三）双曲函数（Hyberbolic Method）

线性函数，三角函数（圆函数）以及双曲函数都是现代数学的支柱，CORDIC 算法的任务就是实现它们。细分之下，这些函数还有许多的成员。

/*** 线性函数 ***/

a*b，a/b // 乘法，除法


/*** 三角函数 ***/

cos()， sin()， tan() // 三角函数
arccos()， arcsin()，atan()/arctan() // 反三角函数


/*** 双曲函数 ***/

cosh()，sinh()， tanh() // 双曲函数
arccosh()，arcsinh()，arctanh() // 反双曲函数
e x ，ln（x） // 自然字数，自然对数
√a， // 平方根