数电2_1——逻辑代数基础

1. 概述

• 用“1”和“0”表示逻辑，而不是大小。比如是否。 （个人理解成中华传统文化中的阴阳 ）
• 数字电路中，用逻辑代数表示开关、高低电平等， 用逻辑函数来表示其输入输出的因果关系。
• 这个逻辑代数是乔治·布尔首先提出，所以也被叫做布尔数（bool）。

2. *三种基本运算（电路符号）及其组合

2.1 与或非

利用集合的关系，协助理解

运算	描述	符号	电路
与	1与1才是1	A·B	串联类比
或	有1就是1	A+B	并联类比
非	阴阳转换	A`，~A（或是上方加一横）	短路开关类比

（备注：与或符号对应乘加挺有意思的，把1，0当成数值参与乘加运算的结果，大于1的都取1，结果和逻辑运算结果一样）

下面是与或非门的逻辑符号 与门或门技艺小技巧：或门像火箭

ps:注意非门小圆点

2.2 组合运算

与非，或非，与或非{这个组合运算比较简,pass}

异或: 两者不同为1，符合交换结合分配律


同或：相同为一，异或的非运算

3. 基本公式和常用公式

3.1 基本公式整理

3.1.1 变量与常量的关系公式：

$A\cdot 0=0、A+0=A、A+1=A、A\cdot 1=A$
$A\cdot A^{\prime }=0、A+A^{\prime }=1$(这两个也被称为互补律，因为是一个变量与他的反变量的关系）
用途：通过常量与变量的关系可以引入变量，消去变量

3.1.2. 交换律与结合律

$A\cdot B=B\cdot A、A+B=B+A$
$A\cdot B\cdot C=A\cdot (B\cdot C)、A+B+C=A+(B+C)$

3.1.3. *分配律

$A\cdot (B+C)=AB+AC$
$A+(BC)=(A+B)\cdot (A+C)$(这个比较容易想不到）

3.1.4. 重叠律

$A+A=A、A\cdot A=A$

3.1.5. **摩根定律（反演律）：与或转换

$(A\cdot B{)}^{\prime }=A^{\prime }+B^{\prime }、(A+B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cdot B^{\prime }$
理解：个人觉得结合venn图理解起来很方便
用途：与或门互换

ps：以上基本公式可以采用真值表推导，不过我个人借助venn图理解，感觉可以。

3.2 常用公式整理

常用公式是在基本公式的基础上推导而出

3.2.1. 吸收律(在分配律，和常量变量的关系推导下得到）

$A+AB=A(1+B)=A$
应用理解：多余的项可删掉
$A(A+B)=AA+AB=A+AB=A$
应用理解：在当一项和包含这一项的和项相乘时，其和项可以消掉
$A+A^{\prime }B=(A+A^{\prime })(A+B)=A+B$
应用理解：这个公式中自己的反因子多余，可删掉

3.2. 2. 其他常用公式

$AB+A^{\prime }C+BC=AB+A^{\prime }C+BC(A^{\prime }+A)=AB+A^{\prime }C$
应用理解：在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以删掉；
$AB+A^{\prime }C+BCD=AB+A^{\prime }C+BCD(A^{\prime }+A)=AB+A^{\prime }C$
$A(AB{)}^{\prime }=(A{A}^{\prime })+(A{B}^{\prime })=A{B}^{\prime }$
应用理解：如果某项和包含这一项的乘积项取反相乘时，则这一项可以删掉
$A^{\prime }(AB{)}^{\prime }=A^{\prime }+A^{\prime }{B}^{\prime }=A^{\prime }$
应用理解：当某个项取反和包含这一项的乘积项取反相乘时，则只保留这个取反项

出错的地方：

1. $A^{\prime }{B}^{\prime }=(AB{)}^{\prime }$非运算的优先级更高
2. 优先级：括号>非>与>或

关键是找到和代数运算的异同点，易错点,然后公式还是要结合电路图来看:

1. 我觉得那个分配律就得注意一下
2. 反演律也要注意

4. 基本定理

4.1 代入定理

描述：任何一个含有A变量的等式，将里面的A全部换成同一个逻辑函数G，那么等式仍然成立
理解：A无非0,1两种可能，G也无非0,1两种可能，0,1会使之成立，所以G也会
用途：将单双变量的公式，推导到多变量

例子：反演律推广
$(AB{)}^{\prime }=A^{\prime }+B^{\prime }$
$(GB{)}^{\prime }=G^{\prime }+B^{\prime },G=AC$
$(ACB{)}^{\prime }=(AC{)}^{\prime }+B=A^{\prime }+C^{\prime }+B^{\prime }$
$(ABC{)}^{\prime }=A^{\prime }+B^{\prime }+C^{\prime }$

4.2 *反演定理求反函数

描述：与或互换，变量和常量都取反，运算顺序不能改变，多变量取反的“非”不能变，可以得到逻辑函数的反函数

例子：求$Y=A(B+C)+CD$ 的 $Y^{\prime }$
$Y^{\prime }=(A^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime })(C^{\prime }+D^{\prime })=A^{\prime }{C}^{\prime }+A^{\prime }{D}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }=A^{\prime }{C}^{\prime }+A^{\prime }{D}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }$

4.3 *对偶定理求对偶式

描述：与或互换，常量（0,1） 都取反，得到对偶式，（注意区别反演）
用途：对偶规则，如果两个式子的对偶式相等，那么这两个式子相等，所以可以方便证明

例子：求$Y=(A+B^{\prime })(A+C\cdot 1)$ 的 $Y^D$
$Y^D=(AB‘)+A(C+0)$

5. 逻辑函数及其表示方法

定义：输入逻辑二值，输出也是逻辑二值
表示方式：真值表，逻辑代数式，逻辑图，波形图，卡诺图，点阵图

5.1 *转换

1. 由真值表写逻辑函数式：
   ①找出真值表中使逻辑函数为“1”的输入变量的组合；
   ②对应每个输出为“1”变量组合关系为与的关系，即乘积项，其中如图输入变量取值为“1 ”的写成原变量，输入变量取值为“0”的写成反变量；
   ③将这些乘积项相加，即得到输出的逻辑式

2. 其他方式：略

5.2 *两种逻辑的标准式

标准与或式 和 标准或与式

5.2.1 最小项和最大项

1. 最小项
   定义：n个变量的与式，每个以本身或本身的非出现一次
   ps：n个的排列，原1反0序列对应的二进制数对应的十进制‘数作为序号’
   性质：所有最小项之和为1，只有一组取值使某一个最小项为1
2. 最大项
   定义：n个变量的或式，每个以本身或本身的非出现一次
   ps：n个的排列，原0反1序列对应的二进制数对应的十进制‘数作为序号’
   性质：所有最大项之逻辑积为0，只有一组取值使某一个最大项为0
3. 关系
   最大项和最小项互为求反

5.2.2 **两种标准式

1. 标准与或式
   在n变量的逻辑函数中，若某一乘积项由于缺少一个变量不是最小项，则在这项中添加此变量与这个变量的反变量之和这一项，使之称为最小项，即利用公式$A＋A’＝1$
   

2. 标准或与式
   在n变量的逻辑函数中，若某一和项由于缺少一个变量不是最大项，则在这项中加上此变量与这个变量的反变量之积这一项，即利用公式$AA’＝0$，然后利用公式$A＋BC＝（A＋B）（A＋C）$使之称为最大项
   

3. 两者的关系
   利用反演定理：
   
   例子：
   

5.2.3 通过真值表写出标准式

• 标准与或式写法 ：由真值表确定逻辑函数为“1”的项作为函数的最小项(乘积项）。若输入变量取“1”，则写成原变量；若输入变量取值为“0”，则写成反变量。 不同的输出“1”为和的关系
• 标准或与式写法 ：由真值表确定逻辑函数为“0”的项作为函数的最大项（和项）。若输入变量取“1”，则写成反变量；若输入变量取值为“0”，则写成原变量。不同的输出“0”为积的关系
个人觉得学会一种，然后用上面的关系转换即可

5.2.4 写出某个函数的标准形式及其反函数

展开$({)}^{\prime }$这种形式要用反演律

预告：下节课准备研究逻辑函数的化简