【OpenGL】02 - OpenGL中的坐标系

【目标】：学习OpenGL中的坐标系统。

 

【参考】：

1、《计算机图形学(OpenGL版) （第三版）》 Francis著 （本文主要涉及第三章~第七章）

2、《计算机图形学(OpenGL版) （第三版）》 Donald著

 

一、前言

        坐标系应该是任何图像系统的基石。在学习Cocos2D的过程中，对着《权威指南》上草草结束的坐标系介绍，实在是看的一头雾水，找了本OpenGL书把这块研究了一下，大致算是清楚了其中的一些基本概念。这里总结一下，作为记录。

 

二、数学基础

1、齐次坐标

        （对应图形学一书的第4.5节）

        在三维空间中的一个点，通常用p = (x, y ,z) 这样的三维坐标来表示，如果要对这样一个点进行如下的简单的变换（即仿射变换，下面会提到）。那么其形式可以如下表示：

           （式2.1 - 1）

      或者用表示为

  P2 = M * P1 + C  (式2.1 - 2)

        这样表示的变换存在一种不便：需要乘法和加法两次计算才能完成转换。回想多项式乘法会发现，(a+b)^n 的展开式相当之长，这样，当变换的次数很多时，这样的计算就会很复杂且不直观。

        由此，引入了齐次坐标的概念：对于某个三维坐标点(x, y, z)，增加一维 w != 0，并对原三维坐标进行同样的缩放，形成新的四维坐标(wx, wy, wz, w)，即是所谓齐次坐标。

        引入了齐次坐标后，原式2.1-2 就可以改写为：

   P2' = M' * P1'  (式2.1 -3)

       这样，只需要用乘法就可以完成所有的任务了。

 

2、点、向量 的齐次坐标表示

       前面的齐次坐标表示实际上是“点”的齐次坐标表示。且在接触到投影矩阵之前（即在模型视图矩阵阶段），对于一个坐标点 P = (wx, wy, wz, w) 的 w值都是1，也必须是1。

       而对于向量，若其原三维表示为 v = (x, y , z)， 则在齐次坐标下的表示为 v' = (x, y, z, 0)。即对于向量来说，齐次坐标表示就是在第四维上填0。

       进一步的，从原来上来说，这里的第四维坐标w，实际上表示是否含有坐标轴原点O的信息。(坐标点可以理解为原点O移动向量p后的结果)

 

3、仿射变换

       仿射变换的数学定义是：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间，可以用式2.1-1表示。

       那么在齐次坐标下， 由于在前面了解到点的齐次坐标表示都是 (x, y, z, 1)，第四维必须是1。所以仿射变换可以表示为：

          （式2.3 - 1）

 

4、基本的仿射变换

       复杂的仿射变换可以通过多次进行基本的仿射变换来完成。这些基本的原子变换包括：平移、缩放、剪切、旋转变换。（Donald的书在这个地方讲的更数学一点，更加严谨）

4.1  平移

      M = 

        其中，(mx, my, mz) 是平移量，也是新坐标系（移动后）的原点O，在原坐标系（移动前）下的坐标值。

        注意，上面关于原点这个表述很有意思。如果变换看做点的移动，那么右边（式2.1-2中的P2）是原来的坐标，左边（P1）是新的坐标。但是如果看做是坐标系的移动，那么对于同一个点P，P2是老坐标，P1是新坐标。

        在我们这里，新的原点O，其老坐标就是P2。

 

4.2  缩放

        M =

       其中，(Sx, Sy, Sz) 是缩放比例。很简单不解释了。

 

4.3  剪切

        也有翻译为错位变换的，定义是某一维上（如Y）引入另一维的影响（如X），效果是方形变平行四边形。可以看 http://baike.baidu.com/view/2424073.htm。根据两个维度的选择，矩阵略有不同。如果是Y上引入X的影响，则矩阵为：

         M =

       当f = 1时，效果图如下：

 

4.4  旋转

        放在最后当然是最麻烦的。由于绕任意轴的旋转很难表示，所以实际上复杂的旋转又被继续分解，最基本的旋转是绕某一个轴进行的旋转。

4.4.1 基本的旋转

        首先定义旋转的正方向：（右手规则）用右手握住轴，大拇指指向轴的正方向，则四指所指方向为旋转的正方向。（也就是逆时针方向，以后基于法向量的逆时针也可以用这个法则判定）。

 

       那么沿着某个轴旋转 β° 的话，那么其矩阵如下：

4.4.2 复合的旋转

        那么，对于任意给定的轴 v = (x, y, z, 0)，旋转β°是怎样得到的呢？总体的思路是这样的：

（1）先平移，使得旋转轴通过原点（opengl不需要考虑这一步，glrotatef的旋转轴都是从原点出发的）

（2）沿x轴和y轴旋转，使得旋转轴与Z轴重合

（3）沿z轴旋转β°

（4）做第二步的反操作，依次沿y轴和x轴进行反旋转

（5）做第一步的反操作，反向平移

        总体来说，理论依据来源于：M(β) * M(-β) = E，即旋转矩阵可逆，且正向原子旋转和反向原子旋转互为逆矩阵。

        那么

   P2 = R(β) * P1
   T(α) * P2 = R(β) * (T(α) * P1)
   P2 = T(-α) * R(β) * T(α) * P1

 

       而左乘一个矩阵，就代表着在原有变换基础上继续变换（后面也会讲到）。更具体的推导这里略去，可以参考Donald书上的5.11.2节。最后的结论也太长，这里也不附了。

 

5、基本仿射变换的复合

       其实前面也提到了，如果先做一个变换a，再做一个变换b，那么其复合的变换矩阵就是：

   P2 = Mb * Ma * P1

      注意是左乘即可，原理也很明显，不再证明。

 

三、OpenGL坐标系

 研究任何坐标系（非欧的不清楚），只要把握住以下三点：1、原点；2、坐标轴正方向；3、坐标单位。以下均按照这个思路研究。

 

1、OpenGL坐标系转换的大致流程

一般使用摄像来做比来描述这个流程，Donald书上289页的一张流水线图则从数学上解释了这个流程。两者合并起来是这样的：

下面具体说明各个步骤

 

2、摆放物体（模型变换）：局部坐标系 -> 世界坐标系

        世界坐标系是右手坐标系，正方向无意义，单位是1，原点坐标是指定的（即无意义）。局部坐标系也是一样（不过单位长度和世界坐标系中的单位可能存在比例关系）。

        举个例子，给定一个世界，我们平移(x, y, z)，然后缩放(Sx, Sy, Sz)。在变换过的原点位置放了一个单位大小的立方体。那么立方体的局部坐标就是(0, 0, 0)，在局部坐标系中的大小是(1, 1, 1)。但是他在世界坐标系中的坐标是(x, y, z)，大小是(Sx, Sy, Sz)。

        这里世界坐标系中各个要素的“无意义”是我的理解。意思是说，这个世界坐标系是预先给定的，不变化的，在这个阶段是和我们的电脑屏幕上的像素坐标没有关系的。就好像我们的地球，使用经纬度为坐标，但实际上任意指定经纬度的起止点和单位都是可以的，这就是世界坐标系。而后面的物体、摄像机，都是基于这个坐标系摆放的。

         而针对局部坐标系，从代码上讲，我们使用glVertex3f设定的坐标值实际上是局部坐标系下的值。在不对模型矩阵进行任何变换的时候，这个坐标系是和世界坐标系重合的。

         这个阶段的变换，主要包括 glTranslae （平移）、glScale （缩放）、glRotate （旋转）【剪切不知道是什么】。在经过这样一系列变换之后，局部坐标系上的某个点P0(x0, y0, z0, 1)，会被摆放到世界坐标系上的P1(x1, y1, z1, 1)点：

         P1 = M * P0 （式3-2）

         模型变换矩阵 M 可以参考从“数学基础”一节里面给出的结果。例如，调用 glTranslated(1, 0, 0) 将局部坐标系向 x 轴正方向移动了1个单位，那么

        M =

         那么，局部坐标系下的原点(0, 0, 0, 1)，实际上就是世界坐标系下的(1, 0, 0, 1)，和我们平移的结果相比显然是正确的。【这里可以再体会一下“新坐标系（移动后）的原点O，在原坐标系（移动前）下的坐标值”这句话，虽然世界坐标系是事先给定的，但是坐标的值给出的却总是局部坐标系下的值，其在真实世界的位置，是需要通过求解才能得到的】

 

3、摆放摄像机（观察变换）：世界坐标系 -> 视点坐标系

3.1  理论

        这个阶段实际上就是调用函数 gluLookAt(eye, center, up)。通过这个操作，将摄像机摆放在了eye的位置，镜头的上方与up在一个平面上（这个说法不严谨，严谨的看下面的），视线指向center。

        视点坐标系就是为摄像机服务的坐标系，原点在摄像机位置（即eye处），它仍然是右手坐标系。三个坐标轴(u, v, n) 如下确定：

        （1）视线轴 z ： 从 center 点 指向 eye 点。注意：是和视线方向相反的。

        （2）水平轴 x ： X = up × Z （叉乘是右手规则）

        （3）上方轴 y ： Y = Z × X。 y指向的方向通常和 up 很接近。如果 up本身与视线方向恰好垂直时，两者重合。

        至于单位，肯定是单位1，但是是世界坐标系下的单位1呢，还是局部坐标系下的单位1呢？（两者的区别在于前者不受glScale影响）。另外一个问题， gluLookAt 的参数。这里面指定了三个参数 eye，center，up。前面已经有了两个坐标系：世界坐标系和局部坐标系，那么这里的坐标点是以什么坐标系为参照的呢？

        这还是要从视点变换的地位说起。在OpenGL中，并没有专门的视点矩阵和模型矩阵，两者是合一的，称为 GL_MODELVIEW 。不过两者实质上还是属于不同的流程，要先从局部变换到世界坐标系，然后再从世界坐标系变换到视点坐标系。如果接着上面的公式3-2，那么一个局部坐标系下的点P0，在映射为世界坐标系下的点P1后，又会被转换为视点坐标系下的点 P2：

         P2 = V * M * P0 （式3-3）

         这里的V是视点变换矩阵。

         这样的话，前面的两个问题就可以回答了：单位是世界坐标系下的单位1（这个无伤大雅），坐标是世界坐标系下的坐标（这个很关键）。【至于为什么只使用一个矩阵，我是这样理解的：世界坐标系相当于只是一个中间变量，最后映入眼帘的，还是基于视点坐标系的世界，所以 V * M 可以合并，导致OpenGL中使用一个矩阵来描述这个过程。】

         但是这里的视点变换矩阵V的确定方法，又与M不同，如果我们设定 gluLookAt(0, 0, 1,   0, 0, 0,   0, 1, 0); 即视点坐标系只是将世界坐标系平移了 (0, 0, 1)，那么是否 V 就是[1, 0, 0, 0;   0, 1, 0, 0;  0, 0, 1, 1; 0, 0, 0, 0] 呢？答案是错的，其矩阵实际上是和平移(0, 0, -1)的变换矩阵相同。这是为什么呢？再回到那句话：

         “如果看做是坐标系的移动，那么对于同一个点P，左边P2是老坐标，右边P1是新坐标。”

         对做上面变换的一个场景中，考虑世界坐标系中的原点。原坐标值(0, 0, 0, 1)是老坐标，现在坐标轴平移了（0, 0, 1），想要知道的是在新坐标系（视点坐标系）下的新坐标P1。那么根据

        P2 = Translate * P1 （translate是平移(0, 0, 1)的变换矩阵）

        显然，V 是 Translate 的逆矩阵。这其实在物理上也容易理解：移动摄像机，相当于反向移动物体。

         这段比较麻烦，举个例子印证一下。

3.2  例子：视点矩阵的影响

        做这样一个操作：假设世界坐标系和局部坐标系重合，然后定义 gluLookAt(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0); 即站在(1, 0, 0)点看着(0, 0, 0)点。这样的视点变换相当于做了两件事：首先沿x轴平移了1个单位，然后绕y轴旋转了-90°，使得新的z轴和原来的x轴负方向重合。那么其变换矩阵，根据平移和旋转的定义，就应该是

        Translate =

        求逆矩阵得到

        V =

       可以用这样一段代码得到验证：

 

#include "AllHead.h"

//通过实践掌握视点矩阵（glulookat）

static void init() {
    glClearColor(1, 1, 1, 0);
}

static void display() {
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

    //do nothing
    glFlush();
}

static void reshape(int w, int h) {
    glViewport(0, 0, w, h);
    //投影矩阵设为单位矩阵
    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    glLoadIdentity();

    //模型视点矩阵先设置为单位矩阵
    glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
    glLoadIdentity();
    printMatrix(GL_MODELVIEW_MATRIX);
    std::cout << "set look at !" << std::endl;
    //摄像机位于(1,0,0)
    gluLookAt(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0);
    printMatrix(GL_MODELVIEW_MATRIX);
}

void LCG_cp07_pageNone_testViewPlane(int argc, char ** argv) {
    setupWindow(argc, argv, GLUT_RGB | GLUT_SINGLE, INTPAIR(600, 400));
    init();
    glutReshapeFunc(reshape);
    glutDisplayFunc(display);
    glutMainLoop();
}

        可以看到打印出来的结果和我们的预期是一样的。

4、观察者的所见：视点坐标系 -> 投影坐标系

4.1  基础

       【这一步是和下面的裁剪紧密结合的，这里认为是分开的两步，且只讨论和投影相关的部分】

        投影就是将摄像机在三维的视点坐标系中的所见，映射到一张二维的投影平面（照片）上的过程。这样看来，似乎投影坐标系应该是二维的啦？不过为了方便深度测试等操作，实际上投影坐标系仍然是三维的。不过其z轴坐标值的意义已经不是那么重要了。

        既然是坐标系变换，那么根据前面的经验，这里显然又会有一个变换矩阵，称之为 投影矩阵Mp。在OpenGL中是 GL_PROJECTION。则有：

       P3 = Mp * P2 （式 3-4）

       这里的P2是视点坐标系下的坐标值。【这里扯一句题外话，如果给定原坐标系要素和变换矩阵，是否可以唯一确定新坐标系的要素呢？答案是肯定的，因为原点和单位向量都可以通过变换求解出来】

      那么，这个Mp 要如何确定呢？这就要说到几种不同的投影方式了。

      具体来说，有以上三大类投影。都比较形象就不解释了。下面分别来看三种投影的变换矩阵。

4.2  正投影

        最简单的就是这种投影。在OpenGL中使用 glOrtho(left,  right, bottom, top,  near, far); 来进行设置。这里的几个参数主要是关系到下面的剪裁和规范化的，对于投影本身只有一点影响：以 x 轴坐标为例，若 left <= right，则 Xp = X，但是若  left > right， 那么就有 Xp = -X。

       这里另外需要注意的是 (near, far) 这对变量。由于Opengl默认的坐标系中，Z轴是从屏幕指向用户的，所以实际上坐标越大，距离用户的距离就越近，所以实际上的近平面是 -near，远平面点是 -far 【参考 http://baike.baidu.com/view/1280554.htm】。所以默认的正投影矩阵实际上是 

 glOrtho(-1, 1,   -1, 1,   1, -1); 

       （注意这里和Donald书上317页的结论有出入，但实际测试gluOrtho2D的结论也是和我这里相同的）

       正投影的投影矩阵比较简单，基本就是单位矩阵，当左右什么的发生逆向的时候，对应分量就变为-1。当然 GL_PROJECTION 里面还包含一些后面的因素。

       这里贴一个例子：

#include "AllHead.h"

//通过实验掌握投影变换

typedef std::pair  GloatPair;

static void init() {
    glClearColor(1, 1, 1, 0);
    //打开深度测试，这样才能看到遮盖的效果
    glClearDepth(1.0f);
    glEnable(GL_DEPTH_TEST);
}

static void reshape(int w, int h) {
    glViewport(0, 0, w, h);
}

static void drawRectangle(const GloatPair & leftTop, const GloatPair & rightButtom, GLfloat z) {
    glBegin(GL_QUADS);
    glVertex3f(leftTop.first, leftTop.second, z);
    glVertex3f(rightButtom.first, leftTop.second, z);
    glVertex3f(rightButtom.first, rightButtom.second, z);
    glVertex3f(leftTop.first, rightButtom.second, z);
    glEnd();
}

static void display() {
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

    //设置与否对本实例没有影响，不过可以开启看看
    //glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
    //glLoadIdentity();
    //gluLookAt(0,0,0.5, 0,0,0, 0,1,0);
    //std::cout << "print model view" << std::endl;
    //printMatrix(GL_MODELVIEW_MATRIX);

    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    glLoadIdentity();
    glOrtho(-2, 2, -2, 2, 5, -5);

    std::cout << "print projection " << std::endl;
    printMatrix(GL_PROJECTION_MATRIX);

    //画两个方块
    glColor3f(1, 0, 0); //先是个红的
    drawRectangle(GloatPair(-0.5, 0.5), GloatPair(0.7, -0.7), 0.2);
    glColor3f(0, 1, 0); //再在背面画个绿色的
    drawRectangle(GloatPair(-0.7, 0.7), GloatPair(0.5, -0.5), -0.2);

    glFlush();

}

void LCG_cp07_pageNone_testProjectionMatrix(int argc, char ** argv) {
    setupWindow(argc, argv, GLUT_SINGLE | GLUT_RGB, INTPAIR(400, 400));
    init();
    glutReshapeFunc(reshape);
    glutDisplayFunc(display);
    glutMainLoop();
}

可以通过修改这里的 glOrtho(-2, 2, -2, 2, 5, -5); 来进行实验。

 

4.3  斜投影

       在OpenGL中貌似没有直接的斜投影方法。那么我们用直接指定矩阵的方法也可以达到目的。不用被4.1开头的非平行平面的斜投影吓到，实际上只需要考虑平行平面的投影效果就可以求取投影矩阵了。

       例如上面例子中画的两个方块，如果希望其重合，且红的遮盖绿的。那么由于两个方块实际上是相等大小的。所以只需要考虑正方形中心的变换：（0.1,  -0.1,  0.2）【红色的中心】 ->  （-0.1,  0.1, -0.2）【绿色的中心】。那么投影线都是平行于这条线的。

         假设我们的投影平面是z = 0 平面，容易得到 投影的关系是 Xp = X - Z/2  ; Yp = Y + Z/2，和正投影一样，我们保留z的值来做深度测试，代码如下（仅提供与上面的程序不同的部分）：

 

static const GLfloat PROJECTION_MATRIX [16] =  {
       1,   0,   0,  0,
       0,   1,   0,  0,
       0,   0,  -1,  0,
    -0.5, 0.5,   0,  1
};

static void display() {
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    glLoadIdentity();
    glMultMatrixf(PROJECTION_MATRIX);

    std::cout << "print projection " << std::endl;
    printMatrix(GL_PROJECTION_MATRIX);

    //画两个方块
    glColor3f(1, 0, 0); //先是个红的
    drawRectangle(GloatPair(-0.5, 0.5), GloatPair(0.7, -0.7), 0.2);
    glColor3f(0, 1, 0); //再在背面画个绿色的
    drawRectangle(GloatPair(-0.7, 0.7), GloatPair(0.5, -0.5), -0.2);

    glFlush();

}

     使用glMultMatrixf来直接指定矩阵。注意这里的 PROJECTION_MATRIX 实际上是所需要的矩阵的转置。更加复杂的斜投影在这里就不继续研究了。

4.4  透视投影

        经过了上面的洗礼，透视投影也没什么难以理解的概念了。透视投影的核心就是近大远小。显然一个物体如果就放在视点位置，那么就是无穷大了（比如你的眼皮）。所以视点的观察半径一般是取非零值的。

      一般设定透视投影的方法有两种：

     1、gluPerspective(theta, aspect, near, far)

     2、glFrustum(left, right, bottom, top, near, far)

     两种实际上差不多，这里只介绍后面一种。

       这张图是在网上下的。注意这张图画的非常有技巧。left，right，bottom，top都是实实在在的坐标值，但是near和far是个距离，这就意味着这两个值不应该为负，实际上也确实如此，如果设置为负，则此次设置是不起作用的。

       从上面的视点坐标系的分析可以理解，这里的摄像机摆放在视点坐标系的原点（他也就是书上所说的投影参考点），视线指向 z 轴负方向。剪裁的近平面和原平面的深度都为正，所以实际上这些平面的Z坐标都为负（在视点坐标系下）。即有：Znear = - near， Zfar = -far。

        而投影的平面，这条语句实际上是选择的近平面，这样可以减少很多麻烦的计算。

        如果只是理解这种投影的概念，那么到这里基本也就够了，不过如果想要确定下面透视投影矩阵，就需要真正用到齐次坐标，而且要牵涉到规范化的部分。所以放在下一节一起讲。

        这里贴一小段测试代码以供备份，非常简单，display的时候调用即可，log是我自己封装的函数。

static void testPerspectiveProjection() {
    log("before");
    printMatrix(GL_PROJECTION_MATRIX);

    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    glLoadIdentity();
    //两种调用，效果相同，注意near和far必须为正，但实际指的是z轴的负坐标
    //glFrustum(-1, 1, -1, 1, 1, 2);
    gluPerspective(90, 1, 1, 2);

    log("after");
    printMatrix(GL_PROJECTION_MATRIX);


    //在-1.5处画个方块
    glColor3f(1, 0, 0);
    drawRectangle(-1.4, 1.4, -1.4, 1.4, -1.5);
}

5、裁剪照片：规范化

5.1  为什么要规范化

        世界虽大，但是能放在一张照片里面显示的东西是有限的。所以要对所见到的世界进行裁剪，取出想要的部分。

        但是在算法上实现裁剪是很复杂的。为了方便这一流程，首先将需要的部分规范化，缩放到一个单位大小的格子里面，然后再用一个单元大小的相框去丈量，将相框以外的全部舍弃，这就是规范化和裁剪的一个主要出发点和思路。

        对应的物理世界中的场景，就是将照相机（老式的似乎更加贴近）的所见缩放到一张标准大小的底片上，超过底片大小的部分全都不会显示出来。

        那么在OpenGL中，照相机的所见实际上已经被转换成了投影平面上的一张二维图像（各个点上也带有z轴信息），现在要处理的就是这个东西。

5.2  规范化的目标

        既然要规范化，那么就得先有一个规范。前面在投影部分也已经看到，每种投影，都有一个剪裁空间，称之为观察体，对正投影来说是一个立方体，对斜投影来说是一个平行六面体，对透视投影来说是一个棱台。如果一个观察体是一个x、y、z坐标范围都是 [-1, 1] 的立方体，则称之为规范化立方体，这个就是所谓的规范。那么，将原来的观察体，映射到规范化立方体的过程，就是规范化。

        一个格外需要注意的地方是，由于后面的屏幕坐标系通常是左手坐标系，所以这里的规范化观察体也使用左手坐标系，意味着 x 轴和 y 轴没有改变，但是 z 轴的正方向转了个。这带来的结果是，在这样的坐标系下，z 的坐标值越小，距离观察者（也就是你）越近。实际上，在opengl中，进行规范化之后，近裁剪平面的z轴坐标是 -1，远裁剪平面的z轴坐标是1。

5.3  正投影的规范化

        前面虽然是在透视投影中提到的规范化，不过还是先从简单的说起。代码中通过 glOrtho(left, right, bottom, top, near, far); 来指定了一个观察体，这个观察体本来就是一个立方体，x 的范围是 [left, right]，y 的范围是 [bottom, top]，z 的范围是 [-far, -near]，现在要将其放到一个左手坐标系下的规范化立方体中，只需要进行平移和缩放。虽然坐标轴体系发生了变换，不过实际上只是 z 轴坐标取了个反，所以变动也很容易得到。综合前面投影的变换，最后的矩阵 GL_PROJECTION 结果是：

         时刻牢记：这里的near和far，在原视点坐标系中的代表的 z 轴坐标是 -near 和 -far。

         再回想4.2中的例子，红色方块的z轴坐标是0.2，绿色的是-0.2，在原视点坐标系中，红色的距离视点更近（这样的值可能还不太容易理解，如果换成红色-0.6、绿色-1就更明显了）。如果对GL_PROJECTION 调用 glLoadIdentity()，对应上面矩阵可以知道 near = 1， far = -1。换算成原视点坐标系下 z 轴坐标就是 近平面z = -1，远平面 z = 1。正好是逆着视线的，所以应该看到绿色遮盖红色。

        另一方面，直接将红绿点的坐标进行转换，红色最终的z轴坐标是 0.2，绿色是-0.2，从5.2上最后一句可以知道，坐标值越小，距离观察者越近，所以绿色更近，也应该看到绿色遮盖红色。这样的判断和程序运行的结果是完全相同的。

5.4 透视投影的规范化

       斜投影这里不打算研究了，以后用到的时候再说吧。直接来看透视投影。这里考虑使用 glFrustum(left, right, bottom, top, near, far) 设置的情况。

       

        以上图为例，(x, y, z) 投影到观察平面的 (x', y', z')。显然 z' = Znear，这张图给出了 y-z 平面的剖面，容易看出  y’ = y ÷ z × z‘ = y ÷ z × Znear。同理可以得到  x' = x ÷ z × Znear。即

        

        但是如果以这样的结论去构造矩阵，就会碰到麻烦：变换矩阵要求对所有的点都适用，但是针对不同的点（x, y, z），其缩放比例却和 z 的值有关，这样的话，普通意义上来说，就无法构造变换矩阵了。

        这个时候，就体现出了齐次坐标的好处：这里实际上只需要保存一个额外的变量z，那么为什么不用用第四个坐标去记录Z值呢？事实上，这是完全可行的。回忆2.1中的说明，齐次坐标是四维坐标(wx, wy, wz, w)，只不过我们前面一直使用的w = 1罢了。

        接下去的问题是，现在 w = z了，那么 z 坐标必须进行变换，否则在齐次化的时候，就会始终为1。和正投影一样，z轴的值本身并不具有意义，但是其范围和大小是有意义的。变换的最终目标是 Znear -> -1， Zfar -> 1，越近的点的z值越小。要做到这一点，只需要利用一下变换前的 w = 1，具体的方法可以在下面看到：

       这里的a和b是两个待定参数，利用Znear -> -1, Zfar -> 1，可以求取a和b的值：a = (Zfar +Znear) / (Zfar - Znear)，b = 2 * Zfar * Znear / (Zfar - Znear)。即

       

       下一步就是要将(x', y', z', w')规范化。显然通过缩放和平移就可以做到，现在已知的条件有以下这些： 

       （1）对x， left -> -1，right ->1

       （2）对y， bottom -> -1， top -> 1，上面两条实际上是和正投影类似的。

       （3）对 z，已经在 [-1, 1] 范围了 不变即可。

      这样，很容易得到这一步的变换矩阵

      这个时候基本上就可以算是结束了，不过注意到  glFrustum 里面设置的 near 值必须为正，而 Znear 实际就是负，所以按照现在的变换矩阵求出来的 w 一般是负的。好在由于是齐次的，所以四个维度上都乘个 -1  就可以解决问题。

      考虑到 near = -Znear， far = - Zfar，替换进变换矩阵，所以最后的变换矩阵是这样的：

       可以随手写个例子验证一下，使用4.4中的例程即可。

6、展示照片：视口

        OK，万事俱备，终于到了最后一步，将图片展示出来。我们现在手上有的是一张单位大小的照片。现在只需要将它冲洗到指定的大小，并摆放在指定的位置。使用的方法就是 glViewport(x,y,  width, height)，调用这个方法之后，会将照片的左下角摆放在(x,y)点，并将其缩放，使得原来单位大小的图片，放大到宽为 width，高为 height。

        到这里为止，基于坐标系的变换就结束了。

        最后再把变化的过程贴一遍