【数论·同余】扩展欧几里得Exgcd算法与线性同余方程求解

扩展欧几里得算法Exgcd

Exgcd算法内容

给定$a,b,c,d$,求解$ax+by=gcd(a,b)$中的任意正数解$(x,y)$

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Exgcd求解一组整数解

我们可以根据裴蜀定理，证明方程一定有解。

由于欧几里得算法$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$,则有：
$$ax+by=bx+(a\%b)\ast y$$

用除法代替取模，则：$$ax+by=b{x}^{\prime }+y^{\prime }(a-[a/b]\ast b)$$

通过乘法分配律和结合律的运算可得：$$ax+by=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-[a/b]\ast y^{\prime })$$

其中，$x^{\prime }$和$y^{\prime }$是方程$bx+y(a-[a/b]\ast b)=gcd(b,a\%b)$的解，用来借助这个已经求得的$x^{\prime }$和$y^{\prime }$结合已知的$a$和$b$推得现在的解$x,y.$其中$a$和$b$不变。我们可以通过递归来求。

递归的边界：
$ax+by=gcd(a,0)$时，即$b=0$时，$x=1y=0.$

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int x,y;
int exgcd(int a,int b)
{
	if (b==0) 
	{ 
	    x=1; 
		y=0; 
		return a; 
	}
	int n=exgcd(b,a%b);
	int t=x;
	x=y; 
	y=t-a/b*y;
	return n;
}
int main(void)
{
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	cout<<exgcd(a,b)<<endl;//这里输出最大公约数
	cout<<x<<' '<<y<<endl;//这个输出方程ax+by=gcd(a,b)的解
	return 0;
}

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Exgcd算法拓展

根据裴蜀定理，我们可以得到如下方程的解：

$$ax+by=c,gcd(a,b)|c$$

因此在代码实现上，我们递归到了边界是换一个处理，令$x=c/gcd(a,b),y=0$。

代码实现和上述代码基本相似。

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Exgcd算法通解

对于方程$ax+by=c,gcd(a,b)|c$来说，如果有一组解$(x_0,y_0)$,我们可以用含有$x_0$和$y_{0}a$来解释这一个方程的通解。
我们可以通过相乘再相加抵消，来证明这一串代数式属于Exgcd算法的通解：
$$(x_0+k\ast \frac{b}{gcd(a,b)},y_0+k\ast \frac{a}{gcd(a,b)})$$

显然，两个数字乘上$a,b$以后再相加，结果一定等于 $x_0+y_0$ 。$k$取任意整数。

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线性同余方程

线性同余方程的一组解

现在我们需要求解有关$x$的线性同余方程：$$a\ast x\equiv b(modm)$$
变形一下，就变成了：$a\ast x-b\equiv 0(modm)$

然后我们就可以发现$a\ast x-b$一定是$m$的倍数，因此我们设是$m$的$-y$倍，则可以将同余式变形为等式：
$$a\ast x-b=-y\ast m⟹a\ast x+y\ast m=b$$
现在我们就变形为了一个扩展欧几里得算法的形式，即可运用上述算法求出对应的解$x$。

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线性同余方程的通解

我们知道扩展欧几里得的通解形式是：
$$(x_0+k\ast \frac{b}{gcd(a,b)},y_0+k\ast \frac{a}{gcd(a,b)})$$

再结合线性同余方程的欧几里得式：
$$a\ast x+y\ast m=b$$

我们考虑对每一个$x$求出通解:

• 不难知道在这里m就是通解形式中的b，而任意一个数加上了$k\ast \frac{m}{gcd(a,m)}$以后，一定有：
  $$k\ast \frac{m}{gcd(a,m)}\equiv x$$
  因此只要满足$\frac{m}{gcd(a,m)}$与x同余的数就是方程的通解。

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线性同余方程的最小正整数解

我们知道了方程的通解，则另$P=\frac{m}{gcd(a,m)}$,对于任意一个整数解$x_0$,则有最小正整数解：$$x=(x\%P+P)\%P$$

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小结

Exgcd和线性同余方程是一个数论的模型，要熟记结论，灵活应用。许多的扩展和变形要需要以这两个算法为根本。