高等数学复习笔记（二）- 一元函数微分学的概念、计算以及几何应用

本节为高等数学复习笔记的第二部分，一元函数微分学的概念，计算以及几何应用，主要包括： 导数的定义，高阶导数的求解，极值点判断的充分条件，凹凸性判断的充分条件，拐点判断的充分条件与必要条件，渐近线以及复杂函数图形的作图方法。

1. 导数定义

  $f^{\prime }(x_0)=\frac{df}{dx}{|}_{x=x_0}=li{m}_{\Delta x\to 0}\frac{x_0+\Delta x}{\Delta x}=li{m}_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，下面看一道例题：

  $eg.设\delta <0，f(x)在[-\delta ,\delta ]上有定义，f(0)=1，且有li{m}_{x\to 0}\frac{ln(1-2x)+2xf(x)}{x^2}=0，证明：f(x)在x=0处可导并求f^{\prime }(x)。$

  $解：li{m}_{x\to 0}\frac{ln(1-2x)+2xf(x)}{x^2}=li{m}_{x\to 0}\frac{-2x-\frac{1}{2}(-2x{)}^2+o(x^2)+2xf(x)}{x^2}（泰勒展开）=2li{m}_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}-2+0=0，即li{m}_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}=li{m}_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1，即f(x)在x=0处可导且f^{\prime }(x)=1。$

2. 高阶导数

  $泰勒展开(x=0处)：y=f(x)={\Sigma }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$，看一道例题：

  $eg.y=f(x)=x^{3}sinx，求y^{(6)}(0)。$

  $解：1)展开：由于y=x^{3}sinx无穷阶可导，可先抽象展开为y={\Sigma }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n；2)又由于y=x^{3}sinx=x^3(x-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3))=x^4-\frac{1}{6}{x}^6+o(x^6)；3)根据展开式的唯一性，比较1)2)两步，\frac{y^{(6)}(0)}{6!}=-\frac{1}{6}，可得y^{(6)}(0)=-\frac{1}{20}。$

  几个常见的展开式（x=0处）：

• $e^x={\Sigma }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+...+\frac{x^n}{n}$
• $\frac{1}{1+x}={\Sigma }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n=1-x+x^2-+...+(-1{)}^n{x}^n$
• $\frac{1}{1-x}={\Sigma }_{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+...+x^n$
• $ln(1+x)={\Sigma }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$
• $sinx={\Sigma }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$
• $cosx={\Sigma }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$

3. 几何应用

3.1 判断极值点的第一充分条件

  $设f(x)在x=x_0处连续，在x_0某去心邻域U(x_0,\delta )内可导：$

• $a.若当x\in (x_0-\delta ,x_0)时f^{\prime }(x)<0，当x\in (x_0,x_0+\delta )时f^{\prime }(x)>0，则极小值点$
• $a.若当x\in (x_0-\delta ,x_0)时f^{\prime }(x)>0，当x\in (x_0,x_0+\delta )时f^{\prime }(x)<0，则极大值点$
• $f^{\prime }(x)在(x_0-\delta ,x_0)和(x_0,x_0+\delta )上不变号，则不是极值点$

3.2 判断极值点的第三充分条件(第二充分条件是三的特例)

  $设f(x)在x_0处n阶可导，且f^{(m)}(x_0)=0(m=1,2,...,n-1)，f^{(n)}(x_0)\ne 0(n\ge 2):$

• $当n为偶数时且f^{(n)}(x_0)<0，f(x)在x_0处取极大值$
• $当n为偶数时且f^{(n)}(x_0)>0，f(x)在x_0处取极小值$

3.3 凹凸性

  $定义：\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f(\frac{x_1+x_2}{2})，图形上任意弧段位于弦的下方\to 凹曲线；反之，凸曲线。$

  $充分条件：设函数f(x)在I上二阶可导，(a)若在I上f^{\prime \prime }(x)>0，在f(x)在I上的图形是凹的；(b)若在I上f^{\prime \prime }(x)<0，在f(x)在I上的图形是凸的。$

  $另一种凹凸性的定义：设f(x)在(a,b)上连续，若对(a,b)内任意两点x_1,x_2,\lambda \in (0,1)，有f[\lambda x_1+(1-\lambda )x_2]\ge \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)，则称f(x)在(a,b)内的图形是凸的；否则，凹。$

3.4 拐点

  定义：连续曲线凹弧和凸弧的分界点。

  $必要条件：设f^{\prime \prime }(x_0)存在，且点(x_0,f(x_0))为曲线上的拐点，则f^{\prime \prime }(x_0)=0$

  $第一充分条件：设f(x)在点x=x_0处连续，在点x=x_0的某去心邻域U(x_0,\delta )内二阶导数存在，且在改点的左右邻域变号$$则点(x_0,f(x_0))为曲线上的拐点。$

  $第三充分条件：设f(x)在x_0处n阶可导，且f^{(m)}(x_0)=0(m=2,...,n-1)，f^{(n)}(x_0)\ne 0(n\ge 3)，则当n为奇数时，(x_0,f(x_0))为拐点。$

3.5 渐近线

  $斜渐近线的定义：若li{m}_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}=li{m}_{x\to -\infty }\frac{f(x)}{x}=k，li{m}_{x\to +\infty }[f(x)-kx]=li{m}_{x\to -\infty }[f(x)-kx]=b，则称y=kx+b是曲线y=f(x)的一条斜渐近线。$

3.6 作函数图形

  $1)确定f(x)的定义域，判断奇偶性；2)求出f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),用f(x)的无定义点，f^{\prime }(x)=0的点，f^{\prime }(x)不存在的点，f^{\prime \prime }(x)=0的点，f^{\prime \prime }(x)不存在的点将定义域划分为多个子区间，确定每个子区间上的单调性$$，凹凸性，得到极值点和拐点；3)渐近线。看一个例题：$

  $eg.画出函数f(x)=\frac{sinx}{1-sinx}在[-\pi ,\pi ]上的图形。$

  $解：确定定义域[-\pi ,\frac{\pi }{2})\bigcup (\frac{\pi }{2},\pi ]$

  $一阶导：f^{\prime }(x)=\frac{cosx}{(1-sinx{)}^2}，令f^{\prime }(x)=0，得x_1=-\frac{\pi }{2}，x_2=\frac{\pi }{2}（无定义）$

  $二阶导：f^{\prime \prime }(x)=\frac{-sinx(1-sinx{)}^2-cosx\cdot 2(1-sinx)(-cosx)}{(1-sinx{)}^4}=\frac{1}{(1-sinx{)}^2}+\frac{co{s}^{2}x}{(1-sinx{)}^3}，可知在区间(-\pi ,\frac{\pi }{2})\bigcup (\frac{\pi }{2},\pi )上二阶导数大于0，f(-\frac{\pi }{2})=-\frac{1}{2}为极小值点;$

  $并且，li{m}_{x\to \frac{\pi }{2}}f(x)=li{m}_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac{sinx}{1-sinx}=+\infty ，所以x=\frac{\pi }{2}是一条铅锤渐近线。另外f(0)=f(-\pi )=f(\pi )=0，列表并画图如下：$

---

欢迎扫描二维码关注微信公众号 深度学习与数学   [每天获取免费的大数据、AI等相关的学习资源、经典和最新的深度学习相关的论文研读，算法和其他互联网技能的学习，概率论、线性代数等高等数学知识的回顾]