多项式除法

多项式

由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式
形如：f(x)=∑ni=0aixi，
deg f(x)称为f的度，是f(x)最高次项的次数。
生成函数

形如∑∞i=0aixi
生成函数又称母函数，往往和多项式算法联系起来起到优化转移的作用
多项式算法
加减法

多项式加减法比较简单
若f(x)=∑ni=0aixi，g(x)=∑ni=0bixi

则(f±g)(x)=∑ni=0(ai±bi)xi

代码实现也比较简单
乘法

多项式乘法是所有多项式算法的基础，也是生成函数的卷积运算

若f(x)=∑ni=0aixi，g(x)=∑ni=0bixi

则(f×g)(x)=∑2ni=0∑ij=0aj×bi−jxi

朴素的多项式乘法是O(n2)的，但FFT（快速傅里叶变换）运用复数根的特性可以在O(nlogn)的复杂度内实现多项式的系数表达和点值表达的转化，运用点值表达实现O(n)的相乘，总复杂度就是O(nlogn)，但是因为常数过大，往往小范围会使用暴力。

inline void FFT(E *a,int r){
  for(int i=0;iif(rev[i]>i) swap(a[rev[i]],a[i]);
  for(int i=1;i1){
    E wn(cos(M_PI/i),r*sin(M_PI/i));
    for(int j=0;j1)){
      E w(1,0);
      for(int k=0;k*wn){
    E x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
    a[j+k]=x+y; a[j+k+i]=x-y;
      }
    }
  }
  if(r==-1) for(int i=0;i2n+1，其中k为奇数n大于多项式的度数，那么就可以用这个质数的原根代替复数根，实现多项式的系数对一个质数取模，这个算法就是NTT（快速数论变换），这种模数称为NTT模数。

inline void Pre(int n){
  num=n;
  int g=Pow(3,(P-1)/num);
  w[0][0]=w[1][0]=1; for(int i=1;i0][i]=1LL*w[0][i-1]*g%P;
  for(int i=1;i1][i]=w[0][num-i];
}

inline void NTT(int *a,int n,int r){
  for(int i=1;iif(rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
  for(int i=1;i1)
    for(int j=0;j1)
      for(int k=0;kint x=a[j+k],y=1LL*a[j+k+i]*w[r][num/(i<<1)*k]%P;
        a[j+k]=(x+y)%P; a[j+k+i]=(x+P-y)%P;
      }
  if(!r) for(int i=0,inv=Pow(n,P-2);i1LL*a[i]*inv%P;
}



不过有些丧心病狂的题的模数不是NTT模数，这个时候需要CRT合并。
多项式求逆

比如BZOJ4555

最后会得到f(x)=f(x)g(x)+1，这是一个非齐次线性递推，因为求的第n项不大，只要直接求出f(x)就行了

很容易可以得到f(x)=11−g(x)，如果令h(x)=1−g(x)，那么f(x)=(h(x))−1，所以就要求h(x)的逆元
求逆元的话网上讲解也有很多，鏼爷集训队论文里也有，大概是用了倍增的做法，摘一下
求A(x)的逆元，即是求B(x)，使A(x)B(x)≡1(modx2k)

如果我们已经求出G(x)，A(x)G(x)≡1(modxn)
那么
A(x)G(x)≡1(modxn)

A(x)G(x)−1≡0(modxn)

(A(x)G(x)−1)2≡0(modx2n)

A2(x)G2(x)−2A(x)G(x)+1≡0(modx2n)

A(x)(2G(x)−A(x)G2(x))≡1(modx2n)

n=0时，求一下A(x)常数项的乘法逆元就可以了

那么用O(nlogn)的复杂度把B(x)赋成2G(x)−A(x)G2(x)进入下一层运算就可以了
总复杂度T(n)=T(n/2)+O(nlogn)=O(nlogn)

void Inv(int *a,int *b,int n){
    if(n==1){
        b[0]=Pow(a[0],P-2); return ;
    }
    Inv(a,b,n>>1);
    for(int i=0;i0;
    int L=0; while(!(n>>L&1)) L++;
    for(int i=1;i<(n<<1);i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<1,1); FFT(b,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++)
        tmp[i]=(1LL*b[i]*2+P-1LL*tmp[i]*b[i]%P*b[i]%P)%P;
    FFT(tmp,n<<1,0);
    for(int i=0;i0;
}


应用的话，就是一些解一些现行递推式，或者求伯努利数
预处理伯努利数：http://blog.csdn.net/coldef/article/details/72876762

学习自：http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-inverse
多项式开根

就是对A(x)，求B(x)，使B2(x)≡A(x)(modxn)
同样是用倍增的方法。
已求得G(x)，使G2(x)≡A(x)(modxn)
那么
B2(x)≡G2(x)(modxn)

[B2(x)−G2(x)]2≡0(modx2n)

B4(x)−2B2(x)G2(x)+G4(x)≡0(modx2n)

B4(x)+2B2(x)G2(x)+G4(x)≡4B2(x)G2(x)(modx2n)

[B2(x)+G2(x)]2≡[2B(x)G(x)]2(modx2n)

B2(x)+G2(x)≡2B(x)G(x)(modx2n)

A(x)+G2(x)≡2B(x)G(x)(mod22n)

B(x)≡A(x)+G2(x)2G(x)(mod22n)

n=0的时候就是B(x)的常数项就是1（我也不知道为什么，Manchery说的）
时间复杂度T(n)=T(n/2)+多项式求逆的复杂度+O(nlogn)=O(nlogn)

void Sqrt(int *a,int *b,int n){
    if(n==1) return void(b[0]=1);
    Sqrt(a,b,n>>1);
    memset(invb,0,sizeof(int)*n); Inv(b,invb,n);
    int L=0; while(!(n>>L&1)) L++;
    for(int i=1;i<(n<<1);i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<for(int i=0;i0;
    FFT(invb,n<<1,1); FFT(tmp,n<<1,1); 
    for(int i=0,inv2=P+1>>1;i<(n<<1);i++) tmp[i]=1LL*tmp[i]*inv2%P*invb[i]%P;
    FFT(tmp,n<<1,0);
    for(int i=0,inv2=P+1>>1;i1LL*b[i]*inv2+tmp[i])%P;
}



学习自： http://www.cnblogs.com/acha/p/6472798.html
多项式取模

此取模不是指系数取模，而是多项式模多项式

UPD:
暴力的多项式取模比较简单，
设模多项式为 M(x)=∑ni=0aixi，化一下可以得到 xn=∑n−1i=0aianxi，将所有大于 n 的项带入就行

对于A(x)，B(x)，设degA(x)=n,degB(x)=m(m≤n)
求D(x)，R(x)，满足A(x)=D(x)B(x)+R(x)
只要求出D(x)，通过多项式加减乘就可以得到R(x)
把1x带入多项式

A(1x)=D(1x)B(1x)+R(1x)

两边乘xn

xnA(1x)=xn−mD(1x)xmB(1x)+xnR(1x)

设fR(x)=xdegf(x)f(1x)

则
AR(x)=DR(x)BR(x)+xn−degR(x)RR(x)

发现degR(x)<m

那么
AR(x)≡DR(x)BR(x)(modxn−m+1)

AR(x)BR(x)≡DR(x)(modxn−m+1)

这样多项式求个逆就可以求出D(x)啦
带回去加加减减就可以得到R(x)

inline void Div(int *a,int n,int *b,int m){
  static int tmp[N],A[N],B[N];
  for(int i=0;i<m;i++) t[i]=b[m-i-1];
  for(int i=0;i1];
  int nn=1,d=n-m+1; for(;nn1;nn<<=1);
  for(int i=n;i0;
  for(int i=d;i0;
  for(int i=0;i0;
  Inv(t,B,nn);
  for(int i=d;i0;
  Mul(A,B,max(n,d));
  for(int i=d;i<=n<<1;i++) A[i]=0;
  for(int i=0;iif(i>d-i-1) swap(A[i],A[d-i-1]);
  for(int i=0;i<m;i++) t[i]=b[i];
  Mul(t,A,max(d,m));
  for(int i=0;i%P;
}



学习自：http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-division

大致就是这些算法
还有多项式求exp什么的…还不会…先挖个坑
应用

根据生成函数的卷积运算优化转移什么的都很常见
还有就是多项式的多点求值，这玩意看http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-multipoint-eval-and-interpolation
我实现了一下…然而自带大常数，跑的不如暴力…

NOI2017D1T3，就运用了多项式取模来解决线性递推数列的第n项(n很大)，也就是f(x)=f(x)g(x)+1的第n项，