【jzoj 4024】 【佛山市选2015】石子游戏 {筛素数+博弈论（NIM博弈/SG函数）}

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题目

Description
Alice 和 Bob 总喜欢聚在一起玩游戏（T_T），今天他（她）们玩的是一款新型的取石子游戏。游戏一开始有N堆石子，Alice 和 Bob 轮流取出石子。在每次操作中，游戏者必须选择其中的一堆石子，并作出下列的其中一种操作：
(1)移去整堆石子
(2)假设石子堆中有X颗石子，取出Y颗石子，其中1<=Y 【假的，是取与x 互质（小于等于x）的数】
游戏结束的条件是：取出最后一颗石子的人胜出。众所周知，Alice和Bob都是绝顶聪明的，假设他们在游戏中都采取最优的策略，问最后谁会胜出游戏呢？

Alice先取。

Input
第一行包含一个整数T，表示测试数据的组数。
接下来T组测试数据，在每组数据中，第一行包含一个整数N，表示有多少堆石子。第二行N个正整数，分别表示每堆有多少颗石子。

Output
每组测试数据输出一行，表示获胜者的名字（Alice 或者 Bob）。

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解题思路

通常的$Nim$游戏的定义是这样的:有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是"选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)"，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负(因为他此刻没有任何合法的移动)。任何一个$ICG$都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个"有向图游戏"。下 面我们就在有向无环图的顶点上定义$Sprague-Grundy$函数。首先定义$mex(minimalexcludant)$运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如$mex0,1,2,4=3、mex1,3,5=0、mex=0$。对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的$Sprague-Grundy$函数$g$如下:KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …)=mex{ g(y) | y是$x$的后继 }。

$sg[i]$表示取走$i$个的$sg$值，因为本题要求必须要是质数，所以取的i是最小质因数。

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代码

#include
using namespace std; 
int t,n,g,sg[1000001],num;
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	sg[1]=1; num=1;
    for (int i=2;i<=1000000;i++)
     {
     	if (!sg[i])
		 {
     		sg[i]=++num; 
     		for (int j=i;j<=1000000;j+=i)
     		 if (!sg[j]) sg[j]=num; 
		 }
	 }	
	while (t--)
	{
		int b=0; 
		scanf("%d",&n); 
		for (int i=1;i<=n;i++)
		 scanf("%d",&g),b^=sg[g];
		if (b!=0) printf("Alice\n"); else printf("Bob\n"); 
	}
}