十一届蓝桥杯省赛模拟摆动序列(DP)

如果一个序列的奇数项都比前一项大,偶数项都比前一项小,则称为一个摆动序列。即 a[2i]a[2i]。
  小明想知道,长度为 m,每个数都是 1 到 n 之间的正整数的摆动序列一共有多少个。

输入格式

输入一行包含两个整数 m,n。

输出格式

输出一个整数,表示答案。答案可能很大,请输出答案除以10000的余数。

样例输入

3 4

样例输出

14

样例说明

以下是符合要求的摆动序列:
  2 1 2
  2 1 3
  2 1 4
  3 1 2
  3 1 3
  3 1 4
  3 2 3
  3 2 4
  4 1 2
  4 1 3
  4 1 4
  4 2 3
  4 2 4
  4 3 4

评测用例规模与约定

对于 20% 的评测用例,1 <= n, m <= 5;
  对于 50% 的评测用例,1 <= n, m <= 10;
  对于 80% 的评测用例,1 <= n, m <= 100;
  对于所有评测用例,1 <= n, m <= 1000。

题意:求1到n范围内长度为m的摆动序列个数

思路:根据题目数据量来看暴力搜索肯定过不了,这种摆动的情况很自然就联想到DP,但问题在于怎么表示这个变化,这里我们可以用dp[i][j]表示:

奇数时:第i位数时,最小数为j时共有多少个:

偶数时:第i位数时,最大数为j时共有多少个:

当i为偶数时:dp[i][j] = dp[i-1][j+1] + dp[i][j-1];( 这里我们可以理解为将表示第i位数时,最大数为j时拆成两个部分——第i位最大数为j-1时,和,第i-1位最小数为j+1时【即第i位为j时】)

当i为奇数时:dp[i][j] = (dp[i-1][j-1] + dp[i][j+1]);(这里我们可以理解为将表示第i位数时,最小数为j时拆成两个部分——第i位最小数为j+1时,和,第i-1位最大数为j-1时【即第i位为j时】

​ 最后,如果我们总的长度为奇数的话,那么就是dp[m][1],如果是偶数,则为dp[m][n]。

代码:

#include 
using namespace std;
int dp[1010][1010];
int main() {
    // m为长度,n为数的范围
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        dp[1][i] = n - i + 1;
    for(int i = 2; i <= m; i++)
        if(i & 1)
            for(int j = n; j >= 1; j--)
                dp[i][j] = (dp[i-1][j-1] + dp[i][j+1]) % 10000;
        else
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = (dp[i-1][j+1] + dp[i][j-1]) % 10000;
    int ans = m & 1 ? dp[m][1] : dp[m][n];
    cout<<ans;
    return 0;
}

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