活用各种数据结构——RMQ/树状数组/分桶法和平方分割
对《挑战程序设计竞赛》的一个记录
第三章 出类拔萃——中级篇
上一篇：3.3活用各种数据结构——线段树篇
3.3活用各种数据结构——RMQ/树状数组/分桶法和平方分割
RMQ（区间最值查询）
有一个长度为n的乱序序列，要求求出区间[L,R]内的最大值或最小值（或者有多次询问发生）
（1）普通解法：每次询问遍历一遍数组（效率低，n很小时，可以考虑一下）
（2）ST算法：具体看之前写过的这篇，ST算法可以进行O(1)的查询，但是不能维护值得更改，适合用在需要大量询问，但是不改变值得情况下。
（3）线段树：可以看线段树篇内的习题
（4）树状数组：树状数组见下面详解
用树状数组求区间[L,R]最值时,如果待查区域在[L,R]范围内，则去该区域最值，否则，只取当前位置的数据，索引后减1并重复上述步骤，直至全部查询完
int getMax(int r,int l)
{
int ans = val[r];
while(l <= r)
{
ans = max(ans,val[r]);
for(--r; r - l >= lower_bit(r);r -= lower_bit(r))
{
ans = max(ans,cnt[r]);
}
}
return ans;
}（5）平方分割：见下面详解
（6）。。。待补充
树状数组
经常用到YB学长的这份自己整理的资料，觉得挺好，直接贴上来记录一下（侵删，勿转载）
单一更新区间查询
树状数组的原英文表达：Binary Indexed Tree（BIT），直译的意思便是：二进制标记树。这提示我们，树状数组这种数据结构的原理是二进制数。
如果数组A是基础数组，数组C是区间数组。那么，在具体介绍数组C的特点前，先给出如下的树状关系图：
仔细观察上图，容易发现：
数组C[]分别代表的区间为：
C1=A1 [1,1]
C2=C1+A2=A1+A2 [1,2]
C3=A3 [3,3]
C4=C2+C3+A4=A1+A2+A3+A4 [1,4]
C5=A5 [5,5]
C6=C5+A6=A5+A6 [5,6]
C7=A7 [7,7]
C8=C4+C6+C7+A8=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8 [1,8]
C9=A9 [9,9]
也就是说，每个数组Ci，至少包含Ai，同时包含所有满足j+lowest_bit(j)=i的Cj数组。例如C8不仅包含A8，同时还包含了C4,C6,C7。而
410=1002，1002+1002=10002=810
610=1102，1102+102=10002=810
710=1112，1112+12=10002=810
注：lowest_bit(i)表示计算数字i的二进制表示中，从右往左数，第一个1所代表的数字。
利用位运算，
我们容易得到lowest_bit()的快速计算方法：
int lowbit(int x)
{
return x&-x;
}
于是，在Ai更新时，只需纵向分别更新即可：C[i]，C[i=i+lowest_bit(i)]……直到i>n。
例如在更新A1时候，我们分别更新C1,C2,C4与C8。（这里假设n=9）
对于更新过程我们可以这样理解：更新所有包含Ai的数组Cj。计算下标j的过程类似于在树形结构中寻找父节点的过程。
实现代码：
void add(int x,int val)
{
while(x<=n)
{
c[x]+=val;
x+=lowbit(x);
}
}
对于每个数组Ci，至少包含Ai，同时包含所有满足j+lowest_bit(j)=i的Cj数组。因此，可以得到如下结论：数组Ci代表的区间一定是:[i-lowest_bit(i)+1,i]。（这里略去了该结论的证明过程）
于是，对于A1+A2+……Ai的和，我们只需找到一组能完美覆盖区间[1,i]的数组集合{C[]}即可：C[i]+C[i=i-lowest_bit(i)]+……直到i=0。
例如在查询A1+A2+……A7的值时，我们累加C7+C6+C4
实现代码：
int sum(int x)
{
int rt=0;
while(x)
{
rt+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return rt;
}
可以看出，树状数组的代码实现非常简洁，极易编码。同时，我们容易计算出树状数组的更新操作的时间复杂度为log(n)，查询操作的时间复杂度同样为log(n)，因此总时间复杂度为log(n)。
题目：
poj 1166 敌兵布阵
#includehdu1754 I Hate It
hdu1394 Minimum Inversion Number
hdu2795 Billboard
poj2828 Buy Tickets
poj2886 Who Gets the Most Candies?
区间更新单一查询
若需要区间更新，单一查询，那么只要改变数组C的含义即可：数组C表示区间的共同增量，例如，
C1=A1 [1,1]
C2=C1+A2=A1+A2 [1,2]
C3=A3 [3,3]
C4=C2+C3+A4=A1+A2+A3+A4 [1,4]
分别表示区间[1,1]，[1,2]，[3,3]，[1,4]的共同增量，于是在更新区间[1,i]时，我们只需找到一组能完美覆盖区间[1,i]的数组集合{C[]}即可，这刚好对应着之前树状数组的sum操作。于是，我们将sum操作更改为add操作，即
void add(int x, int val)
{
while(x)
{
c[x]+=val;
x-=lowbit(x);
}
}
对于区间[s,t]，我们只需执行add(t,val)与add(s-1,-val)即可。
对于单一查询：query(i)，我们只需累加所有包含Ai的数组Cj即可，这对应着之前树状数组的add操作。于是，我们将add操作更改为sum操作，即
int sum(int x)
{
int rt=0;
while(x<=n)
{
rt+=c[x];
x+=lowbit(x);
}
return rt;
}
题目：
hdu1698 Just a Hook
poj2528 Mayor’s posters
poj3225 Help with Intervals
poj1436 Horizontally Visible Segments
poj2991 Crane
Another LCIS
Bracket Sequence
区间更新区间查询
poj3468 A Simple Problem with Integers
题意：给出n个数和Q个操作，操作如下:
C a b c:将[a, b]区间中的每个数加上c。
Q a b: 计算[a, b ]区间内的数值之和。
这个题目求的是某一区间的数组和，而且要支持批量更新某一区间内元素的值，怎么办呢？实际上，还是可以把该问题转化为求数组的前缀和。
首先，看更新操作update(s, t, d)把区间A[s]……A[t]都增加d，我们引入一个数组delta[i]，表示
A[i]……A[n]的共同增量，n是数组的大小。那么update操作可以转化为：
1）令delta[s] = delta[s] + d，表示将A[s]……A[n]同时增加d，但这样A[t+1]……A[n]就多加了d，所以
2）再令delta[t+1] = delta[t+1] - d，表示将A[t+1]……A[n]同时减d
再看查询操作query(s, t)，求A[s]……A[t]的区间和，转化为求前缀和，设sum[i] = A[1]+ …… +A[i]，
则A[s]+ …… +A[t] = sum[t] - sum[s-1]，
那么前缀和sum[x]又如何求呢？它由两部分组成，一是数组的原始和，二是该区间内的累计增量和， 把数组A的原始值保存在数组org中，并且delta[i]对sum[x]的贡献值为delta[i]*(x+1-i)，
那么
sum[x]=org[1]+……+org[x]+delta[1]∗x+delta[2]∗(x−1)+……+delta[x]∗1=org[1]+……+org[x]+∑(delta[i]∗(x+1−i))=∑(org[i])+(x+1)∗∑(delta[i])−∑(delta[i]∗i)
1 <= i <= x
这其实就是三个数组org[i], delta[i]和delta[i]*i的前缀和，org[i]的前缀和保持不变，事先就可以求出来，delta[i]和delta[i]*i的前缀和是不断变化的，并且每次都是单一更新，所以可以用两个树状数组来维护。
对于delta[i]*i，其实就delta[i]的简单映射关系，于是update操作可以转化为：
1）令delta[s]* s = (delta[s] + d)* s = delta[s]* s+s* d，
2）再令delta[t+1]* (t+1) = delta [t+1]* (t+1) – (t+1)* d，
代码如下：
#include分桶法和平方分割
直接贴书上的：
poj 2104 K-th Number
代码如下：
#include