Leetcode-416. Partition Equal Subset Sum（01背包拓展）

01背包问题定义：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值是vi，背包的容量是c.问如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？背包的容量有

限，被加入到背包里的物品的重量之和要小于或等于c，其次是每个物品不能分割，要么装入要么不装入。其动态转化方程为：

 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

这里f[i][j]表示在前i个物品中选择若干件放入背包中(不超过背包的容量)，背包的最大价值量；

那么对于每个物品，只有两种选择，要么将其装入，要么不装入；

(1)当装入时，那么它的价值量应该等于在前i-1个物品中放入容量为c-wi的背包的最大价值量再加上第i个物品的价值量，

(2)当不装入时，那么在前i个物品中选择若干件放入背包的最大价值量和在前i-1件物品中放入背包的价值量相等；

代码：

#include
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假设每个物品的重量和价值量如下：

vectorweight = {2,2,6,2,1};
vectorvalue = {6,3,5,8,3};

那么就会产生如下的矩阵：

其中红色表示在前4件物品中，在背包容量为6的情况下最大价值量为17（分别是6+3+8）。

拓展：leetcode:416. Partition Equal Subset Sum

Given a non-empty array containing only positive integers, find if the array can be partitioned into two subsets such that the sum of elements in both subsets is equal.

Note:

1. Each of the array element will not exceed 100.
2. The array size will not exceed 200.

Example 1:

Input: [1, 5, 11, 5]

Output: true

Explanation: The array can be partitioned as [1, 5, 5] and [11].

Example 2:

Input: [1, 2, 3, 5]

Output: false

Explanation: The array cannot be partitioned into equal sum subsets.

这道题的意思就是在数组中挑任意个元素，使得所挑元素的和与剩下的元素的和相同。

第一种方法：

假设数组的元素的个数是n，利用树的结构来解决，对于数组中的每个元素只有取和不取两种情况，所以可以构建一颗深度为n+1的二叉树(不是真的构造，而是通过递归函数调

用实现)，向左代表选择当前物品，向右代表不选择当前物品。在函数调用的过程中，可能会有剪枝操作！！！

第二种方法：

就是利用上述01背包的思想，将背包的容量设置为数组所有元素的和的一半(如果数组的和不是偶数则不可能平分)。在这种情况下，每个物品的总量和价值量是1:1的情况，

一旦背包刚好被装满，就是二维数组的最后一个元素的值等于sum/2。可以知道二维数组的最后一个元素的值是小于或等于sum/2的，如果利用01背包思想求得的最大价值量

都小于sum/2那么这个数组不可能存在一个子序列的和刚好等于sum/2.

源码如下:

class Solution {
public:
	bool canPartition(vector& nums) {
		int sum = 0;
		bool flag;
		for (int i = 0; ivalue = nums;
			int **f = new int*[m];
			for (int i = 0; i < m; i++){
				f[i] = new int[n + 1];
				memset(f[i], 0, sizeof(int)*(n + 1));
			}
			for (int i = nums[0]; i <= n; i++){
				f[0][i] = value[0];
			}

			for (int i = 1; i

Leetcode上现实内存超超出限制，一直没找出原因来，求大牛指点！！！！

第三种思想：

将数组中任意个元素的和全部列出来(即任意从1到n个个元素之和)，将这和全部存放起来，如果这些和都和sum/2不相等，则不存在这样的非空子序列使得它的和是数组所有

元素和的一半！！！！