数论 | 容斥定理

#容斥定理

######参考文章：容斥定理详解
###摘要：
######原理描述：
计算几个集合并集的大小，先计算出所有单个集合的大小，减去所有两个集合相交的部分，加上三个集合相交的部分，再减去四个集合相交的部分，以此类推，一直计算到所有集合相交的部分 。具体如图：

######维恩图：

######概率论:
事件Ai(i=1,…,n)，P(Ai)为对应事件发生的概率。至少一个事件发生的概率：

######方法论：
容斥常用二进制的方法进行枚举，第k位为1则表示选择了第k个数，用bits统计奇偶来确定符号，具体如下：

for(int i=1;i<(1<

##例题

###codeforce gym 101350G. Snake Rana
######题意：
在一个nm的矩形里，有k个方格放置了炸弹，询问不包含炸弹的矩形有多少个？
######数据范围：
$1\le N,M\le 10^4,1\le K\le 20$
######题解：
nm的矩形中，共有$\frac{n\ast (n+1)}{2}$*$\frac{m\ast (m+1)}{2}$个矩形。(详见:矩形A+B)然后用位运算枚举包含炸弹的情况，用所有的情况减去包含炸弹的情况就是最终结果。
######代码:

#include 
#include 
#include 
#include 
#define LL long long

using namespace std;

const int maxn=1e4+10;
int x[maxn],y[maxn];
int n,m,k;

LL f()
{
    LL ans=0,t;
    int x1,x2,y1,y2;
    int bits=0;
    for(int i=1;i<(1<

###[HDU4135 - Co-prime](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4135) ######题意： 给定A,B,n，询问区间[A,B]中与n互质的数有多少个？ ######数据范围： $1 <= A <= B <= {10^15}, 1 <=N <= {10^9}$ ######题解： A,B的数据范围太大，枚举显然不显示。互质就是指最大公约数为1，那么不互质就是有相同的大于1的公约数。把n进行因数分解，因数的倍数就是不互质的，用所有的方案数$-$不互质的就是结果，注意这里要进行容斥，因为会有类似于“2的倍数同样也是4的倍数，也是8的倍数...”这样的情况出现。 ######代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#define LL long long

using namespace std;

const int maxn=1e5+10;
int a[maxn];

int main()
{
    int T,c=1;
    scanf("%d",&T);
    LL L,R;
    int n;
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%d",&L,&R,&n);
        --L;

        int cnt=0;
        for(int i=2;i*i<=n;++i)
        {
            if(n%i==0)
            {
                a[cnt++]=i;
                while(n%i==0)
                {
                    n=n/i;
                }
            }
        }
        if(n>1) a[cnt++]=n;

        LL ans1=0,ans2=0,d;
        int bits;
        for(int i=1;i<(1<